一个袋子里有 10 个筹码，每个筹码上都写着一个数字。

其中有 6 个写着 7，3 个写着 8，1 个写着 9。

从袋子中随机抽取 3 个筹码（不放回）。 然后把这些筹码放回袋中。

这一过程重复进行，直到共抽取了 20 个样本。

随机变量 $Y$ 表示这 20 个样本中含有写着 9 的筹码的样本个数。

(a) (i) 求 $Y$ 的均值。

(ii) 求 $Y$ 的方差。

从袋中随机抽取 3 个筹码（不放回）。

(b) 列出所有 3 个筹码上的数字中位数为 7 的可能样本。

(c) 求这 3 个筹码的中位数的抽样分布。

（第 7 题共 12 分）

先求一次抽样中含有数字 9 的筹码的概率。一次抽样不含 9，等价于从其余 9 个筹码中抽出 3 个，因此可用对立事件求概率。每次抽样后放回全部筹码，20 次抽样相互独立，所以 $Y$ 服从二项分布。

Let $p$ be the probability that a sample contains the counter numbered 9.

Since the 20 samples are independent,

Hence

含有数字 9 时，唯一写着 9 的筹码可以在第一次、第二次或第三次抽出。这三个互斥情形的概率相同，相加即可得到一次抽样成功的概率。

The counter numbered 9 may occur in any one of the three positions. Each position contributes

Therefore,

把样本看作不计顺序的三枚筹码组合。要包含数字 9，就必须选中那一枚筹码，再从另外 9 枚中选 2 枚。

There are $\binom{10}{3}=120$ equally likely samples. The number containing the counter numbered 9 is

Hence

承接 (i)，使用二项分布的方差公式 $\operatorname{Var}(Y)=np(1-p)$。

From part (i), $Y\sim\operatorname{B}(20,3/10)$.

把每个样本中的三个数字按从小到大排列。中位数为 7 时，前两个数字必须都是 7，而第三个数字可以是 7、8 或 9。

Listing each sample in ascending order, the possible samples are

样本中只有 7、8、9 三种数字，而 9 只有一个，所以中位数只能是 7 或 8。先把中位数为 7 的三类样本概率相加，再用概率和为 1 求中位数为 8 的概率。

Let $M$ denote the median. Its only possible values are 7 and 8.

For $M=7$, the three terms below correspond to $(7,7,7)$, $(7,7,8)$ and $(7,7,9)$ respectively. A sample containing two equal numbers has three possible orders.

Hence

Thus the sampling distribution is

也可以直接计算中位数为 8 的概率。按样本中数字的组合分类，再乘以各类不同排列的数量；由补集求出中位数为 7 的概率。

The samples with median 8, written in ascending order, are

Their numbers of possible orders are $1$, $3$, $3$ and $6$, respectively. Therefore,

Hence

The sampling distribution is