一家公司生产葵花籽小包。每包含有 40 粒种子。公司声称，平均而言，只有 35% 的葵花籽不会发芽。 随机选取一包。

(a) 使用 5% 的显著性水平，求一个适当的双尾检验临界区域，以检验“葵花籽不发芽的比例等于 0.35”。 你应清楚陈述假设，并给出临界区域每一尾尽可能接近 2.5% 的概率。

(b) 写出此检验的实际显著性水平。

过去记录表明，该公司的葵花籽中有 2.8% 会长到超过 3 米的高度。 随机抽取 250 粒该公司的葵花籽，其中 11 粒长到超过 3 米。

(c) 使用适当的近似方法，在 5% 显著性水平下检验是否有证据表明，长到超过 3 米的葵花籽比例现在大于 2.8%。 清楚陈述你的假设。

（第 3 题共 10 分）

令 $p$ 为葵花籽不发芽的比例，并令 $X$ 为一包中不发芽的种子数。在原假设下，$X\sim\operatorname{B}(40,0.35)$。这是双尾检验，所以分别在分布两端寻找概率最接近 $0.025$ 的整数边界，并写出两个临界区域。

Let $p$ be the proportion of sunflower seeds that do not germinate. The hypotheses are

Under $H_0$, if $X$ is the number of seeds in the packet that do not germinate, then

For the lower tail,

This is closer to $0.025$ than $P(X\leqslant7)=0.0124$.

For the upper tail,

This is closer to $0.025$ than $P(X\geqslant20)=0.0363$.

Hence an appropriate critical region is

with lower-tail probability $0.0303$ and upper-tail probability $0.0173$.

实际显著性水平就是在原假设成立时，随机变量落入两个临界区域的总概率，因此把 (a) 中两个尾部概率相加。

The actual significance level is

令 $p$ 为现在能长到 3 米以上的种子比例。由于样本量大而 $p$ 很小，二项分布可用参数 $\lambda=np=7$ 的 Poisson 分布近似。这是右尾检验，计算观察到 11 粒或更多的概率，并与 $0.05$ 比较。

Let $p$ be the current proportion of sunflower seeds that grow to a height of more than 3 metres. The hypotheses are

Let $Y$ be the number of such seeds in the sample. Under $H_0$,

Since $n$ is large and $p$ is small, using a Poisson approximation gives

The approximate $p$-value is

Since $0.0985>0.05$, there is insufficient evidence to suggest that the proportion of sunflower seeds that grow to a height of more than 3 metres is now greater than $0.028$.

也可以先用同一个 Poisson 近似找出 5% 右尾检验的临界区域。比较相邻的两个右尾概率可知，临界区域应为 $Y\geqslant13$；观察值 11 不在其中，所以结论相同。

Using the same hypotheses and the approximation

the relevant upper-tail probabilities are

and

Therefore, the critical region is

The observed value is $Y=11$, which does not lie in the critical region. Therefore, there is insufficient evidence to suggest that the proportion of sunflower seeds that grow to a height of more than 3 metres is now greater than $0.028$.