一个人完成某项任务少于 15 分钟的概率为 0.4。 Jeffrey 随机抽取 20 个人并要求他们完成该任务。随机变量 $X$ 表示在少于 15 分钟内完成任务的人数。

(a) 求 $P(5 \leqslant X < 8)$。

Mia 随机抽取 140 个人。 使用正态近似，这 140 个人中少于 $n$ 个人在少于 15 分钟内完成任务的概率为 0.0239，精确到 4 位小数。

(b) 求 $n$ 的值。 清楚展示你的计算过程。

（第 4 题共 9 分）

每个人在 15 分钟内完成任务的概率固定为 $0.4$，抽取人数固定为 20，因此 $X$ 服从二项分布。把 $5\leqslant X<8$ 改写为 $5\leqslant X\leqslant7$，再用两个累积概率相减。

The number of people who complete the task in less than 15 minutes follows

Therefore,

令 $Y$ 表示 140 人中在 15 分钟内完成任务的人数，则 $Y$ 服从二项分布。由于样本量大且 $np$、$n(1-p)$ 均足够大，可用均值为 $56$、方差为 $33.6$ 的正态分布近似。事件「少于 $n$ 人」是 $Y\leqslant n-1$，所以连续性修正后的边界为 $n-0.5$。再由左尾概率 $0.0239$ 查得标准正态分位数并求 $n$。

Let $Y$ be the number of people, out of 140, who complete the task in less than 15 minutes. Then

Here,

Thus, using a normal approximation,

Since $P(Y<n)=P(Y\leqslant n-1)$, the continuity-corrected boundary is $n-0.5$. Also,

Therefore,

and hence

Since $n$ is an integer,