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S2 2022 Oct Q5

A Level / Edexcel / S2

IAL 2022 Oct Paper · Question 5

题目

Problem

The continuous random variable XX has cumulative distribution function given by

 F(x)= {0,x<3,16(x−3)2,3⩽x<4,x3−76,4⩽x<c,1−16(d−x)2,c⩽x<7,1,x⩾7.\begin{aligned} &\,F(x)=\\ &\,\begin{cases} 0,\quad x<3,\\[1mm] \dfrac16(x-3)^2,\\ \qquad3\leqslant x<4,\\[1mm] \dfrac{x}{3}-\dfrac76,\\ \qquad4\leqslant x<c,\\[1mm] 1-\dfrac16(d-x)^2,\\ \qquad c\leqslant x<7,\\[1mm] 1,\quad x\geqslant7. \end{cases} \end{aligned}

where cc and dd are constants.

(a) Show that c=6c = 6

(4)

(b) Find P(X>3.5)P(X > 3.5)

(2)

(c) Find

 P(X>4.5∣ 3.5<X<5.5)\begin{aligned} &\,P(X>4.5\mid\\ &\,\hspace{12pt}3.5<X<5.5) \end{aligned}
(3)

(Total for Question 5 is 9 marks)

题目中文翻译

连续随机变量 XX 的累积分布函数为

 F(x)= {0,x<3,16(x−3)2,3⩽x<4,x3−76,4⩽x<c,1−16(d−x)2,c⩽x<7,1,x⩾7.\begin{aligned} &\,F(x)=\\ &\,\begin{cases} 0,\quad x<3,\\[1mm] \dfrac16(x-3)^2,\\ \qquad3\leqslant x<4,\\[1mm] \dfrac{x}{3}-\dfrac76,\\ \qquad4\leqslant x<c,\\[1mm] 1-\dfrac16(d-x)^2,\\ \qquad c\leqslant x<7,\\[1mm] 1,\quad x\geqslant7. \end{cases} \end{aligned}

其中 cc 和 dd 为常数。

(a) 证明 c=6c = 6。

(4)

(b) 求 P(X>3.5)P(X > 3.5)。

(2)

(c) 求

 P(X>4.5∣ 3.5<X<5.5).\begin{aligned} &\,P(X>4.5\mid\\ &\,\hspace{12pt}3.5<X<5.5) \end{aligned}.
(3)

（第 5 题共 9 分）

解答

(a)

解法一

思路

展开

累积分布函数在 x=7x=7 处必须接到 1，因此先由左极限求得 d=7d=7。连续型随机变量的累积分布函数连续，所以再令 x=cx=c 两侧的分段表达式相等；代入 d=7d=7 后展开并化简，即可得到关于 cc 的完全平方方程。

答题过程

展开

Since XX is continuous, its cumulative distribution function is continuous. Its value as xx approaches 7 from the left must equal F(7)=1F(7)=1. Therefore,

1−16(d−7)2=1,1-\frac16(d-7)^2=1,

which gives

 (d−7)2=0, d=7.\begin{aligned} &\,(d-7)^2=0,\\ &\,d=7. \end{aligned}

Continuity at x=cx=c now gives

c3−76=1−16(7−c)2.\frac{c}{3}-\frac76 =1-\frac16(7-c)^2.

Multiplying by 6 and expanding,

 2c−7 =6−(49−14c+c2) =−43+14c−c2, c2−12c+36=0, (c−6)2=0.\begin{align*} &\,2c-7\\ &\,=6-(49-14c+c^2)\\ &\,=-43+14c-c^2,\\[1mm] &\,c^2-12c+36=0,\\ &\,(c-6)^2=0. \end{align*}

Hence c=6c=6, as required.

(b)

解法一

思路

展开

累积分布函数给出 P(X⩽x)=F(x)P(X\leqslant x)=F(x)。由于 3.53.5 落在第二段，先代入求 F(3.5)F(3.5)，再使用补事件求 P(X>3.5)P(X>3.5)。

答题过程

展开

Since 3⩽3.5<43\leqslant 3.5<4,

 F(3.5) =16(3.5−3)2 =124.\begin{align*} &\,F(3.5)\\ &\,=\frac16(3.5-3)^2\\ &\,=\frac1{24}. \end{align*}

Therefore,

 P(X>3.5) =1−F(3.5) =1−124 =2324.\begin{align*} &\,P(X>3.5)\\ &\,=1-F(3.5)\\ &\,=1-\frac1{24}\\ &\,=\frac{23}{24}. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

在条件 3.5<X<5.53.5<X<5.5 下，事件 X>4.5X>4.5 对应区间 4.5<X<5.54.5<X<5.5。因此，条件概率的分子为 F(5.5)−F(4.5)F(5.5)-F(4.5)，分母为 F(5.5)−F(3.5)F(5.5)-F(3.5)。分别选择各数值所在的正确分段计算即可。

答题过程

展开

First,

 F(5.5)=5.53−76 =23.\begin{align*} &\,F(5.5)=\frac{5.5}{3}-\frac76\\ &\,=\frac23. \end{align*}

and

 F(4.5)=4.53−76 =13.\begin{align*} &\,F(4.5)=\frac{4.5}{3}-\frac76\\ &\,=\frac13. \end{align*}

From part (b),

 F(3.5) =1−2324 =124.\begin{align*} &\,F(3.5)\\ &\,=1-\frac{23}{24}\\ &\,=\frac1{24}. \end{align*}

Hence,

 P(3.5<X<5.5) =F(5.5)−F(3.5) =23−124 =58,\begin{align*} &\,P(3.5<X<5.5)\\ &\,=F(5.5)-F(3.5)\\ &\,=\frac23-\frac1{24}\\ &\,=\frac58, \end{align*}

while

 P(4.5<X<5.5) =F(5.5)−F(4.5) =23−13 =13.\begin{align*} &\,P(4.5<X<5.5)\\ &\,=F(5.5)-F(4.5)\\ &\,=\frac23-\frac13\\ &\,=\frac13. \end{align*}

Let AA be the event X>4.5X>4.5, and let BB be the event 3.5<X<5.53.5<X<5.5. Their intersection is 4.5<X<5.54.5<X<5.5, so the required conditional probability is

 P(A∣B) =P(A∩B)P(B) =P(4.5<X<5.5)P(3.5<X<5.5) =1/35/8 =815.\begin{align*} &\,P(A\mid B)\\ &\,=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\\ &\,=\frac{P(4.5<X<5.5)}{P(3.5<X<5.5)}\\ &\,=\frac{1/3}{5/8}\\ &\,=\frac8{15}. \end{align*}