题目
The continuous random variable has cumulative distribution function given by
0 & x < 3 \\ \dfrac{1}{6}(x - 3)^2 & 3 \leqslant x < 4 \\ \dfrac{x}{3} - \dfrac{7}{6} & 4 \leqslant x < c \\ 1 - \dfrac{1}{6}(d - x)^2 & c \leqslant x < 7 \\ 1 & x \geqslant 7 \end{cases}$$ where $c$ and $d$ are constants. (a) Show that $c = 6$ <div style="text-align: right;">(4)</div> (b) Find $P(X > 3.5)$ <div style="text-align: right;">(2)</div> (c) Find $P(X > 4.5 \mid 3.5 < X < 5.5)$ <div style="text-align: right;">(3)</div> (Total for Question 5 is 9 marks)题目中文翻译
连续随机变量 的累积分布函数为
0 & x < 3 \\ \dfrac{1}{6}(x - 3)^2 & 3 \leqslant x < 4 \\ \dfrac{x}{3} - \dfrac{7}{6} & 4 \leqslant x < c \\ 1 - \dfrac{1}{6}(d - x)^2 & c \leqslant x < 7 \\ 1 & x \geqslant 7 \end{cases}$$ 其中 $c$ 和 $d$ 为常数。 (a) 证明 $c = 6$。 (b) 求 $P(X > 3.5)$。 (c) 求 $P(X > 4.5 \mid 3.5 < X < 5.5)$。 （第 5 题共 9 分） </details> # 解答 ## (a) ### 解法一 #### 思路 <details> <summary>展开</summary> 累积分布函数在 $x=7$ 处必须接到 1，因此先由左极限求得 $d=7$。连续型随机变量的累积分布函数连续，所以再令 $x=c$ 两侧的分段表达式相等；代入 $d=7$ 后展开并化简，即可得到关于 $c$ 的完全平方方程。 </details> #### 答题过程 <details> <summary>展开</summary> Since a cumulative distribution function is continuous, its value as $x$ approaches 7 from the left must equal $F(7)=1$. Therefore,1-\frac16(d-7)^2=1,
(d-7)^2=0 \quad\Longrightarrow\quad d=7.
Continuity at $x=c$ now gives\frac{c}{3}-\frac76 =1-\frac16(7-c)^2.
\begin{align*} 2c-7=&,6-(49-14c+c^2) \[4mm] =&,-43+14c-c^2 \[4mm] c^2-12c+36=&,0 \[4mm] (c-6)^2=&,0. \end{align*}
Hence $c=6$, as required. </details> ## (b) ### 解法一 #### 思路 <details> <summary>展开</summary> 累积分布函数给出 $P(X\leqslant x)=F(x)$。由于 $3.5$ 落在第二段，先代入求 $F(3.5)$，再使用补事件求 $P(X>3.5)$。 </details> #### 答题过程 <details> <summary>展开</summary> Since $3\leqslant 3.5<4$,F(3.5)=\frac16(3.5-3)^2=\frac1{24}.
P(X>3.5)=1-F(3.5) =1-\frac1{24} =\frac{23}{24}.
</details> ## (c) ### 解法一 #### 思路 <details> <summary>展开</summary> 在条件 $3.5<X<5.5$ 下，事件 $X>4.5$ 对应区间 $4.5<X<5.5$。因此，条件概率的分子为 $F(5.5)-F(4.5)$，分母为 $F(5.5)-F(3.5)$。分别选择各数值所在的正确分段计算即可。 </details> #### 答题过程 <details> <summary>展开</summary> First,F(5.5)=\frac{5.5}{3}-\frac76=\frac23
F(4.5)=\frac{4.5}{3}-\frac76=\frac13.
From part (b), $F(3.5)=1/24$. Hence,\begin{align*} P(3.5<X<5.5)=&,F(5.5)-F(3.5) \[4mm] =&,\frac23-\frac1{24} \[4mm] =&,\frac58, \end{align*}
\begin{align*} P(4.5<X<5.5)=&,F(5.5)-F(4.5) \[4mm] =&,\frac23-\frac13 \[4mm] =&,\frac13. \end{align*}
\begin{align*} P(X>4.5\mid 3.5<X<5.5) =&,\frac{P(4.5<X<5.5)}{P(3.5<X<5.5)} \[4mm] =&,\frac{1/3}{5/8} \[4mm] =&,\frac8{15}. \end{align*}