题目

Problem

(i) The continuous random variable $X$ is uniformly distributed over the interval $[a, b]$

Given that

P(5 < X < 13) = \dfrac{1}{5}

and $E(X) = 9$ , find $P(3X > a + b)$

(3)

(ii) The continuous random variable $Y$ is uniformly distributed over the interval $[1, c]$

Given that $\operatorname{Var}(Y) = 0.48$ , find the exact value of $E(Y^2)$

(4)

(iii) A wire of length $20\,\mathrm{cm}$ is cut into 2 pieces at a random point.

The longest piece of wire is then cut into 2 pieces, equal in length, giving 3 pieces of wire altogether.

Find the probability that the length of the shortest piece of wire is less than $6\,\mathrm{cm}$ .

(5)

(Total for Question 7 is 12 marks)

题目中文翻译

(i) 连续随机变量 $X$ 在区间 $[a, b]$ 上均匀分布。

已知

P(5 < X < 13) = \dfrac{1}{5}

且 $E(X) = 9$ ，求 $P(3X > a + b)$ 。

(3)

(ii) 连续随机变量 $Y$ 在区间 $[1, c]$ 上均匀分布。

已知 $\operatorname{Var}(Y) = 0.48$ ，求 $E(Y^2)$ 的精确值。

(4)

(iii) 一根长度为 $20\,\mathrm{cm}$ 的铁丝在随机位置被剪成 2 段。

较长的一段随后再被剪成 2 段，且两段等长，于是总共有 3 段铁丝。

求最短一段长度小于 $6\,\mathrm{cm}$ 的概率。

(5)

（第 7 题共 12 分）

解答

(i)

解法一

思路

展开

均匀分布中，区间概率等于区间长度之比。由 $P(5<X<13)=\frac15$ 可求总区间长度 $b-a$ ；由 $E(X)=9$ 可得中点条件 $\frac{a+b}{2}=9$ 。求出端点后，再把 $3X>a+b$ 化成关于 $X$ 的不等式。

答题过程

展开

Since $X\sim\operatorname{U}(a,b)$ ,

\frac{13-5}{b-a}=\frac15,

b-a=40.

Also,

\frac{a+b}{2}=E(X)=9,

so $a+b=18$ . Solving the simultaneous equations gives

a=-11,\qquad b=29.

Therefore,

\begin{align*} &\,P(3X>a+b)\\ &\,=P(3X>18)\\ &\,=P(X>6)\\ &\,=\frac{29-6}{29-(-11)}\\ &\,=\boxed{\frac{23}{40}}. \end{align*}

解法二

思路

展开

其实不必分别求 $a,b$ 。由期望直接得到 $a+b=18$ ，由给定概率直接得到区间长度 $b-a=40$ ；进而可计算上端点 $b=29$ ，足以求出 $P(X>6)$ 。

答题过程

展开

The given probability gives

b-a=5(13-5)=40,

while $E(X)=9$ gives $a+b=18$ . Hence,

\begin{align*} &\,b=\frac{(b-a)+(a+b)}{2}\\ &\,=\frac{40+18}{2}\\ &\,=29. \end{align*}

Since $3X>a+b$ is equivalent to $X>6$ ,

\begin{align*} &\,P(3X>a+b)\\ &\,=\frac{29-6}{40}\\ &\,=\boxed{\frac{23}{40}}. \end{align*}

(ii)

解法一

思路

展开

先用均匀分布方差公式求出右端点 $c$ 。因为 $c>1$ ，解平方方程时取正根。随后把方差与均值的平方相加，求得二阶矩，并保持分数形式以得到精确值。

答题过程

展开

For $Y\sim\operatorname{U}(1,c)$ ,

\begin{align*} &\,\operatorname{Var}(Y)\\ &\,=\frac{(c-1)^2}{12}\\ &\,=0.48=\frac{12}{25}. \end{align*}

Hence,

(c-1)^2=\frac{144}{25}.

Since $c>1$ ,

c-1=\frac{12}{5}.

Therefore,

c=\frac{17}{5}.

Therefore,

\begin{align*} &\,E(Y)=\frac{1+c}{2}\\ &\,=\frac{1+\frac{17}{5}}{2}\\ &\,=\frac{11}{5}. \end{align*}

Using the variance identity,

\begin{aligned} &\,\operatorname{Var}(Y)\\ &\,=E(Y^2)-[E(Y)]^2, \end{aligned}

we obtain

\begin{align*} &\,E(Y^2)\\ &\,=\operatorname{Var}(Y)+[E(Y)]^2\\ &\,=\frac{12}{25}+\Big(\frac{11}{5}\Big)^2\\ &\,=\boxed{\frac{133}{25}}. \end{align*}

(iii)

解法一

思路

展开

设第一次切点距铁丝一端为 $W$ ，则 $W\sim\operatorname{U}(0,20)$ 。分别考虑 $W\leqslant10$ 和 $W\geqslant10$ ：较长的一段会被平分，再判断原来的短段或平分后的两段何时小于 $6$ 。合并后得到三个互不重叠的切点区间。

答题过程

展开

Let $S$ be the length of the shortest final piece. Let $W$ be the distance of the first cut from one end of the wire. Then

W\sim\operatorname{U}(0,20).

If $0\leqslant W\leqslant10$ , the three lengths are

\begin{aligned} &\,W,\\ &\,\frac{20-W}{2},\\ &\,\frac{20-W}{2}. \end{aligned}

The shortest piece is less than $6$ when

W<6

\begin{aligned} &\,\frac{20-W}{2}<6,\\ &\,\text{so }W>8. \end{aligned}

Within this half of the range, the required regions are therefore $W<6$ and $8<W\leqslant10$ .

By symmetry, for $10\leqslant W\leqslant20$ , the required regions are $10\leqslant W<12$ and $W>14$ . Hence the complete event is

\begin{aligned} &\,W<6,\\ &\,8<W<12,\\ &\,W>14. \end{aligned}

Therefore,

\begin{align*} &\,P(S<6)\\ &\,=\frac{6+4+6}{20}\\ &\,=\boxed{\frac45}. \end{align*}

解法二

思路

展开

改算补事件会更短。三段都至少为 $6$ 时，第一次切出的短段要至少为 $6$ ，而较长段的一半也要至少为 $6$ 。这只在切点位于 $(6,8)$ 或 $(12,14)$ 时成立。

答题过程

展开

Let $S$ again be the length of the shortest final piece. All three pieces have length at least $6$ only when

6<W<8

12<W<14.

Thus,

\begin{align*} &\,P(S\geqslant6)\\ &\,=\frac{(8-6)+(14-12)}{20}\\ &\,=\frac15. \end{align*}

Therefore,

\begin{align*} &\,P(S<6)\\ &\,=1-\frac15\\ &\,=\boxed{\frac45}. \end{align*}

解法三

思路

展开

也可以直接设第一次切割后较长一段的长度为 $L$ 。由对称性， $L$ 在 $[10,20]$ 上均匀分布。最终三段长度为 $20-L,\frac L2,\frac L2$ ；最短段小于 $6$ 等价于 $20-L<6$ 或 $\frac L2<6$ 。

答题过程

展开

Let $S$ be the length of the shortest final piece, and let $L$ be the length of the longer piece after the first cut. Then

L\sim\operatorname{U}(10,20).

The final three lengths are

\begin{aligned} &\,20-L,\\ &\,\frac L2,\\ &\,\frac L2. \end{aligned}

The shortest piece is less than $6$ if

\begin{aligned} &\,20-L<6,\\ &\,\text{so }L>14, \end{aligned}

or if

\begin{aligned} &\,\frac L2<6,\\ &\,\text{so }L<12. \end{aligned}

These two regions are disjoint. Hence,

\begin{align*} &\,P(S<6)\\ &\,=P(L<12)\\ &\,\hspace{2pt}+P(L>14)\\ &\,=\frac{12-10}{10}+\frac{20-14}{10}\\ &\,=\boxed{\frac45}. \end{align*}

解法四

思路

展开

还可以只看切点位于后半段的条件。若第一次切点 $W>10$ ，三段都至少长 6 只在 $12<W<14$ 时发生。用条件概率算出这一半区间中的比例，再由对称性得到全体切点的相同比例，最后取补事件。

答题过程

展开

Let $W\sim\operatorname{U}(0,20)$ be the first cut position. Define $B$ to be the event that all three final pieces have length at least 6, and define $C$ by $W>10$ .

Under condition $C$ , event $B$ occurs when $12<W<14$ . Hence

\begin{align*} &\,P(C)\\ &\,=\frac{20-10}{20}=\frac12,\\ &\,P(B\cap C)\\ &\,=\frac{14-12}{20}=\frac1{10}. \end{align*}

Therefore,

\begin{align*} &\,P(B\mid C)\\ &\,=\frac{P(B\cap C)}{P(C)}\\ &\,=\frac{1/10}{1/2}\\ &\,=\frac15. \end{align*}

By symmetry, the probability of $B$ is also $1/5$ in the first half of the wire. Thus

\begin{align*} &\,P(B)\\ &\,=\frac12\cdot\frac15+\frac12\cdot\frac15\\ &\,=\frac15. \end{align*}

Consequently, the required probability is

1-P(B)=1-\frac15=\boxed{\frac45}.

S2 2022 Oct Q7

题目

解答

(i)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(ii)

解法一

思路

答题过程

(iii)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

解法三

思路

答题过程

解法四

思路

答题过程