(i) 连续随机变量 $X$ 在区间 $[a, b]$ 上均匀分布。

已知 $P(5 < X < 13) = \dfrac{1}{5}$ 且 $E(X) = 9$，求 $P(3X > a + b)$。

(ii) 连续随机变量 $Y$ 在区间 $[1, c]$ 上均匀分布。

已知 $\operatorname{Var}(Y) = 0.48$，求 $E(Y^2)$ 的精确值。

(iii) 一根长度为 20 cm 的铁丝在随机位置被剪成 2 段。 较长的一段随后再被剪成 2 段，且两段等长，于是总共有 3 段铁丝。

求最短一段长度小于 6 cm 的概率。

（第 7 题共 12 分）

均匀分布中，区间概率等于区间长度之比。由 $P(5<X<13)=\frac15$ 可求总区间长度 $b-a$；由 $E(X)=9$ 可得中点条件 $\frac{a+b}{2}=9$。求出端点后，再把 $3X>a+b$ 化成关于 $X$ 的不等式。

Since $X\sim\operatorname{U}(a,b)$,

so

Also,

so $a+b=18$. Solving the simultaneous equations gives

Therefore,

其实不必分别求 $a,b$。由期望直接得到 $a+b=18$，由给定概率直接得到区间长度 $b-a=40$；进而可计算上端点 $b=29$，足以求出 $P(X>6)$。

The given probability gives

while $E(X)=9$ gives $a+b=18$. Hence,

Since $3X>a+b$ is equivalent to $X>6$,

先用均匀分布方差公式求出右端点 $c$。因为 $c>1$，解平方方程时取正根。随后利用 $E(Y^2)=\operatorname{Var}(Y)+[E(Y)]^2$，并保持分数形式以得到精确值。

For $Y\sim\operatorname{U}(1,c)$,

Hence,

Since $c>1$,

Therefore,

Therefore,

Using $\operatorname{Var}(Y)=E(Y^2)-[E(Y)]^2$,

设第一次切点距铁丝一端为 $W$，则 $W\sim\operatorname{U}(0,20)$。分别考虑 $W\leqslant10$ 和 $W\geqslant10$：较长的一段会被平分，再判断原来的短段或平分后的两段何时小于 $6$。合并后得到三个互不重叠的切点区间。

Let $W$ be the distance of the first cut from one end of the wire. Then

If $0\leqslant W\leqslant10$, the three lengths are

The shortest piece is less than $6$ when

or

Within this half of the range, the required regions are therefore $W<6$ and $8<W\leqslant10$.

By symmetry, for $10\leqslant W\leqslant20$, the required regions are $10\leqslant W<12$ and $W>14$. Hence the complete event is

Therefore,

改算补事件会更短。三段都至少为 $6$ 时，第一次切出的短段要至少为 $6$，而较长段的一半也要至少为 $6$。这只在切点位于 $(6,8)$ 或 $(12,14)$ 时成立。

All three pieces have length at least $6$ only when

or

Thus,

Therefore,

也可以直接设第一次切割后较长一段的长度为 $L$。由对称性，$L$ 在 $[10,20]$ 上均匀分布。最终三段长度为 $20-L,\frac L2,\frac L2$；最短段小于 $6$ 等价于 $20-L<6$ 或 $\frac L2<6$。

Let $L$ be the length of the longer piece after the first cut. Then

The final three lengths are

The shortest piece is less than $6$ if

or if

These two regions are disjoint. Hence,