某鞋店在工作日的平均销售速率为每小时 4 双鞋。

(a) 建议一个适合建模工作日每小时售出鞋双数的分布。

(b) 写出该分布作为这个情境的合适模型所必需的一个假设。

(c) 求下列概率：

(i) 在一个小时内售出超过 4 双鞋；

(ii) 在连续 3 个一小时区间内，每个区间都售出超过 4 双鞋。

区域经理在某个工作日到店拜访，恰好是在一则广告刊登在当地报纸后的第二天。

在经理来访期间的一小时内，店里卖出了 7 双鞋。 这使经理相信该广告提高了鞋店的销售量。

(d) 清楚写出假设，在 5% 显著性水平下检验：在广告刊登后，是否有证据表明鞋双销量增加。

每小时售出的鞋双数是固定时间区间内的事件次数，且题目给出平均发生率，因此适合用泊松分布建模。

A suitable model is

where $X$ is the number of pairs of shoes sold in one hour.

泊松模型要求事件以恒定平均速率独立发生。结合本题语境，可陈述为各双鞋的售出相互独立。

The sales of pairs of shoes occur independently of one another.

沿用 (a) 的泊松模型。“超过 4 双”是 $X>4$，使用补事件把它化为 1 减去累积概率 $P(X\leqslant4)$。

For $X\sim\operatorname{Po}(4)$,

三个连续一小时区间内都要售出超过 4 双。由泊松过程在互不重叠区间内的事件次数相互独立，所求概率是 (c)(i) 未取整概率的三次方。

The numbers of sales in the three one-hour periods are independent. Therefore,

经理认为广告使平均销量增加，所以进行右尾检验。原假设下每小时销量仍服从均值为 4 的泊松分布；计算观察到 7 双或更多的概率，并与 5% 显著性水平比较。

Let $\lambda$ be the mean number of pairs of shoes sold per hour after the advert.

Under $H_0$, $X\sim\operatorname{Po}(4)$. The p-value is

Since $0.1107>0.05$, we do not reject $H_0$. There is insufficient evidence at the 5% significance level of an increase in sales of pairs of shoes following the appearance of the advert.

官方评分资料也接受临界域法。寻找最小整数 $r$，使右尾概率 $P(X\geqslant r)$ 不超过 0.05，再判断观测值 7 是否落入临界域。

Using the same hypotheses and $X\sim\operatorname{Po}(4)$,

Hence the critical region is $X\geqslant9$. Since the observed value $7$ is not in the critical region, we do not reject $H_0$. There is insufficient evidence at the 5% significance level of an increase in sales of pairs of shoes following the appearance of the advert.