题目

Problem

A bag contains a large number of coins. It only contains 20p and 50p coins. A random sample of 3 coins is taken from the bag.

(a) List all the possible combinations of 3 coins that might be taken.

(2)

Let $\bar X$ represent the mean value of the 3 coins taken.

Part of the sampling distribution of $\bar X$ is given below.

$\bar x$	$P(\bar X=\bar x)$
$20$	$\dfrac{4913}{8000}$
$a$	$c$
$b$	$d$
$50$	$\dfrac{27}{8000}$

(b) Write down the value of $a$ and the value of $b$

(1)

The probability of taking a 20p coin at random from the bag is $p$

The probability of taking a 50p coin at random from the bag is $q$

(2)

(d) Hence, find the value of $c$ and the value of $d$

(3)

Let $M$ represent the mode of the 3 coins taken at random from the bag.

(e) Find the sampling distribution of $M$

(3)

题目中文翻译

一个袋子里装有大量硬币，只包含 20p 和 50p 硬币。从袋中随机抽取 3 枚硬币。

(a) 列出可能抽到的所有 3 枚硬币组合。

(2)

设 $\bar X$ 表示这 3 枚硬币的平均价值。

$\bar X$ 的抽样分布部分如下所示。

$\bar x$	$P(\bar X=\bar x)$
$20$	$\dfrac{4913}{8000}$
$a$	$c$
$b$	$d$
$50$	$\dfrac{27}{8000}$

(b) 写出 $a$ 和 $b$ 的值。

(1)

从袋中随机抽到一枚 20p 硬币的概率为 $p$ 。

从袋中随机抽到一枚 50p 硬币的概率为 $q$ 。

(2)

(d) 从而求 $c$ 和 $d$ 的值。

(3)

设 $M$ 表示随机抽取的 3 枚硬币中出现的众数。

(e) 求 $M$ 的抽样分布。

(3)

解答

(a)

解法一

思路

展开

只需按 20p 硬币的枚数分类。三枚硬币中可以有 3、2、1 或 0 枚 20p 硬币，因此共有四种组合；同一组合内不必重复列出不同的抽取次序。

答题过程

展开

The possible combinations are

\begin{aligned} &\,(20,20,20),\\ &\,(20,20,50),\\ &\,(20,50,50),\\ &\,(50,50,50). \end{aligned}

(b)

解法一

思路

展开

分别计算混合组合 $(20,20,50)$ 与 $(20,50,50)$ 的平均值；它们位于表中 20 与 50 之间，并按从小到大排列。

答题过程

展开

\begin{align*} a =&\,\frac{20+20+50}{3} =\boxed{30}, \\ b =&\,\frac{20+50+50}{3} =\boxed{40}. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

$\bar X=20$ 只会在三枚硬币全为 20p 时发生，所以其概率为 $p^3$ 。利用表中给出的概率求出 $p$ ，再由两类硬币的概率和为 1 求 $q$ 。

答题过程

展开

Since $P(\bar X=20)=p^3$ ,

\begin{align*} p^3 =&\,\frac{4913}{8000} \\ p =&\,\sqrt[3]{\frac{4913}{8000}} \\ =&\,\boxed{\frac{17}{20}}. \end{align*}

Hence,

q=1-p=\boxed{\frac3{20}}.

(d)

解法一

思路

展开

$\bar X=30$ 表示恰有两枚 20p 与一枚 50p； $\bar X=40$ 表示恰有一枚 20p 与两枚 50p。每种情况都有 3 种排列，因此使用二项分布的相应概率。

答题过程

展开

\begin{align*} c =&\,3p^2q \\ =&\,3\bigg(\frac{17}{20}\bigg)^2\bigg(\frac3{20}\bigg) \\ =&\,\boxed{\frac{2601}{8000}}, \\ d =&\,3pq^2 \\ =&\,3\bigg(\frac{17}{20}\bigg)\bigg(\frac3{20}\bigg)^2 \\ =&\,\boxed{\frac{459}{8000}}. \end{align*}

解法二

思路

展开

也可以先求出一个未知概率，再利用四种样本均值的概率总和为 1 求另一个。这样只需计算一次二项概率。

答题过程

展开

Using $p=\dfrac{17}{20}$ and $q=\dfrac3{20}$ from part (c),

\begin{align*} &\,c=3p^2q\\ &\,=3\Big(\frac{17}{20}\Big)^2 \Big(\frac3{20}\Big)\\ &\,=\frac{2601}{8000}. \end{align*}

The four probabilities sum to 1, so

\begin{align*} &\,c+d\\ &\,=1-\frac{4913}{8000}-\frac{27}{8000}\\ &\,=\frac{8000-4913-27}{8000}\\ &\,=\frac{3060}{8000}=\frac{153}{400}. \end{align*}

Therefore,

\begin{align*} &\,d=\frac{3060}{8000}-\frac{2601}{8000}\\ &\,=\frac{459}{8000}. \end{align*}

Hence,

\begin{aligned} &\,\boxed{c=\frac{2601}{8000}},\\ &\,\boxed{d=\frac{459}{8000}}. \end{aligned}

(e)

解法一

思路

展开

三枚硬币只有两种面值，而且样本数为奇数，所以众数必为 20 或 50。20 是众数当且仅当至少两枚硬币为 20p；50 是众数当且仅当至少两枚为 50p。

答题过程

展开

\begin{align*} &\,P(M=20)\\ &\,=P(\bar X=20)\\ &\,\hspace{2pt}+P(\bar X=30) \\ &\,=\frac{4913}{8000}+\frac{2601}{8000} \\ &\,=\frac{3757}{4000}, \\ &\,P(M=50)\\ &\,=P(\bar X=40)\\ &\,\hspace{2pt}+P(\bar X=50) \\ &\,=\frac{459}{8000}+\frac{27}{8000} \\ &\,=\frac{243}{4000}. \end{align*}

Therefore, the sampling distribution of $M$ is

$m$	$20$	$50$
$P(M=m)$	$\dfrac{3757}{4000}$	$\dfrac{243}{4000}$

S2 2023 Jan Q2

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程

(d)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(e)

解法一

思路

答题过程