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IAL 2023 Jan S2 Q4

A Level / Edexcel / S2

IAL 2023 Jan Paper · Question 4

题目

Problem

The continuous random variable X has probability density function f(x), shown in the diagram, where k is a constant.

(a) Find P(X < 10k)

(1)

(b) Show that

k=1πk=\frac{1}{\pi}

(2)

(c) Find, in terms of π, the values of

(i) E(X)

(ii) Var(X)

(3)

Circles are drawn with area A, where

A=π(X+2π)2A=\pi\bigg(X+\frac{2}{\pi}\bigg)^2

(d) Find E(A)

(4)
题目中文翻译

连续随机变量 X 的概率密度函数 f(x) 如图所示，其中 k 为常数。

(a) 求 P(X < 10k)

(b) 证明 k = 1/π。

(c) 用 π 表示下列值：

(i) E(X)

(ii) Var(X)

画出的圆面积为 A，其中

A=π(X+2π)2A=\pi\bigg(X+\frac{2}{\pi}\bigg)^2

(d) 求 E(A)。

解答

(a)

解法一

思路

展开

图像表示 XX 在 [k,21k][k,21k] 上均匀分布。概率等于目标区间长度占总区间长度的比例；从 kk 到 10k10k 的长度为 9k9k，总长度为 20k20k。

答题过程

展开

Since XX is uniformly distributed over [k,21k][k,21k],

P(X<10k)= 10k−k21k−k= 920.\begin{align*} P(X<10k) =&\,\frac{10k-k}{21k-k} \\ =&\,\boxed{\frac9{20}}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

概率密度函数图像下的总面积必须为 1。图中矩形宽为 21k−k=20k21k-k=20k，高为 π/20\pi/20；令矩形面积等于 1，即可自然推出题目给出的结果。

答题过程

展开

The total area under a probability density function is 1. Therefore,

(21k−k)(π20)= 1πk= 1k= 1π.\begin{align*} (21k-k)\bigg(\frac{\pi}{20}\bigg)=&\,1 \\ \pi k=&\,1 \\ k=&\,\boxed{\frac1\pi}. \end{align*}

(c)(i)

解法一

思路

展开

由 (b)，XX 在 [1/π,21/π][1/\pi,21/\pi] 上均匀分布。均匀分布的均值是两个端点的平均数。

答题过程

展开 E(X)= 12(1π+21π)= 11π.\begin{align*} E(X) =&\,\frac12\bigg(\frac1\pi+\frac{21}\pi\bigg) \\ =&\,\boxed{\frac{11}{\pi}}. \end{align*}

(c)(ii)

解法一

思路

展开

直接使用区间 [u,v][u,v] 上均匀分布的方差公式 (v−u)2/12(v-u)^2/12，并代入两个端点。

答题过程

展开 Var⁡(X)= 112(21π−1π)2= 112(20π)2= 1003π2.\begin{align*} \operatorname{Var}(X) =&\,\frac1{12} \bigg(\frac{21}{\pi}-\frac1\pi\bigg)^2 \\ =&\,\frac1{12}\bigg(\frac{20}{\pi}\bigg)^2 \\ =&\,\boxed{\frac{100}{3\pi^2}}. \end{align*}

解法二

思路

展开

官方评分资料也允许由定义积分求 E(X2)E(X^2)，再用 Var⁡(X)=E(X2)−[E(X)]2\operatorname{Var}(X)=E(X^2)-[E(X)]^2。此法同时为 (d) 准备了二阶矩。

答题过程

展开

The density is f(x)=π20f(x)=\dfrac{\pi}{20} for 1/π⩽x⩽21/π1/\pi\leqslant x\leqslant21/\pi. Hence,

E(X2)= ∫1/π21/πx2(π20) dx= π20[x33]1/π21/π= 4633π2.\begin{align*} E(X^2) =&\,\int_{1/\pi}^{21/\pi} x^2\bigg(\frac{\pi}{20}\bigg)\,\mathrm{d}x \\ =&\,\frac{\pi}{20}\bigg[\frac{x^3}{3}\bigg]_{1/\pi}^{21/\pi} \\ =&\,\frac{463}{3\pi^2}. \end{align*}

Therefore,

Var⁡(X)= E(X2)−[E(X)]2= 4633π2−121π2= 1003π2.\begin{align*} \operatorname{Var}(X) =&\,E(X^2)-\big[E(X)\big]^2 \\ =&\,\frac{463}{3\pi^2}-\frac{121}{\pi^2} \\ =&\,\boxed{\frac{100}{3\pi^2}}. \end{align*}

(d)

解法一

思路

展开

先展开面积公式，再使用期望的线性性质。由 (c) 已知均值与方差，所以通过 E(X2)=Var⁡(X)+[E(X)]2E(X^2)=\operatorname{Var}(X)+[E(X)]^2 求二阶矩，最后代入。

答题过程

展开

Expanding AA,

A=πX2+4X+4π.A=\pi X^2+4X+\frac4\pi.

Also,

E(X2)= Var⁡(X)+[E(X)]2= 1003π2+121π2= 4633π2.\begin{align*} E(X^2) =&\,\operatorname{Var}(X)+\big[E(X)\big]^2 \\ =&\,\frac{100}{3\pi^2}+\frac{121}{\pi^2} \\ =&\,\frac{463}{3\pi^2}. \end{align*}

Therefore,

E(A)= πE(X2)+4E(X)+4π= 4633π+44π+4π= 6073π≈ 64.4.\begin{align*} E(A) =&\,\pi E(X^2)+4E(X)+\frac4\pi \\ =&\,\frac{463}{3\pi}+\frac{44}{\pi}+\frac4\pi \\ =&\,\boxed{\frac{607}{3\pi}} \\ \approx&\,64.4. \end{align*}

解法二

思路

展开

也可以按官方评分资料给出的直接积分路线，把面积 AA 乘以密度函数后，在 XX 的支持区间上积分。为缩短代数，令 u=πxu=\pi x，积分区间会变成 [1,21][1,21]。

答题过程

展开

Since f(x)=π20f(x)=\dfrac{\pi}{20} on [1/π,21/π][1/\pi,21/\pi],

E(A)=∫1/π21/ππ(x+2π)2(π20) dx.E(A)=\int_{1/\pi}^{21/\pi} \pi\bigg(x+\frac2\pi\bigg)^2 \bigg(\frac{\pi}{20}\bigg)\,\mathrm{d}x.

Let u=πxu=\pi x, so dx=1π du\mathrm{d}x=\dfrac1\pi\,\mathrm{d}u. Then

E(A)= 120π∫121(u+2)2 du= 120π[(u+2)33]121= 233−3360π= 6073π≈ 64.4.\begin{align*} E(A) =&\,\frac1{20\pi}\int_1^{21}(u+2)^2\,\mathrm{d}u \\ =&\,\frac1{20\pi}\bigg[\frac{(u+2)^3}{3}\bigg]_1^{21} \\ =&\,\frac{23^3-3^3}{60\pi} \\ =&\,\boxed{\frac{607}{3\pi}} \\ \approx&\,64.4. \end{align*}