连续随机变量 $X$ 的概率密度函数 $f(x)$ 如图所示，其中 $k$ 为常数。

(a) 求 $P(X < 10k)$

(b) 证明 $k=\dfrac1\pi$。

(c) 用 $\pi$ 表示下列值：

(i) $E(X)$

(ii) $\operatorname{Var}(X)$

画出的圆面积为 $A$，其中

(d) 求 $E(A)$。

图像表示 $X$ 在 $[k,21k]$ 上均匀分布。概率等于目标区间长度占总区间长度的比例；从 $k$ 到 $10k$ 的长度为 $9k$，总长度为 $20k$。

Since $X$ is uniformly distributed over $[k,21k]$,

概率密度函数图像下的总面积必须为 1。图中矩形宽为 $21k-k=20k$，高为 $\pi/20$；令矩形面积等于 1，即可自然推出题目给出的结果。

The total area under a probability density function is 1. Therefore,

由 (b)，$X$ 在 $[1/\pi,21/\pi]$ 上均匀分布。均匀分布的均值是两个端点的平均数。

直接使用区间 $[u,v]$ 上均匀分布的方差公式 $(v-u)^2/12$，并代入两个端点。

也可以由定义积分求 $E(X^2)$，再用方差恒等式

此法同时为 (d) 准备了二阶矩。

The density is $f(x)=\dfrac{\pi}{20}$ for $1/\pi\leqslant x\leqslant21/\pi$. Hence,

Therefore,

先展开面积公式，再使用期望的线性性质。由 (c) 已知均值与方差，所以先用方差加上均值的平方求二阶矩，再代入面积的期望。

Expanding $A$,

Also,

Therefore,

也可以直接积分，把面积 $A$ 乘以密度函数后，在 $X$ 的支持区间上积分。为缩短代数，令 $u=\pi x$，积分区间会变成 $[1,21]$。

Since $f(x)=\dfrac{\pi}{20}$ on $[1/\pi,21/\pi]$,

Let $u=\pi x$, so $\mathrm{d}x=\dfrac1\pi\,\mathrm{d}u$. Then