一家公司生产钢缆。

该公司生产的钢缆会随机出现缺陷，缺陷以每 16 米平均 1 个的恒定速率出现。

某天，该公司生产了一段 80 米长的钢缆。

(a) 求这段钢缆中缺陷数不超过 5 的概率。

在接下来的 4 天中，该公司每天都生产一段 80 米长的钢缆。

(b) 求这 4 段钢缆中少于 2 段含有不超过 5 个缺陷的概率。

下一周，该公司生产了一段 $x$ 米长的钢缆。

使用正态近似时，这段钢缆少于 26 个缺陷的概率为 0.5398。

(c) 求 $x$ 的值。

缺陷随机且以恒定速率出现，因此使用泊松分布。80 米钢缆的期望缺陷数为 $80/16=5$，“不超过 5 个”对应累积概率 $P(D\leqslant5)$。

Let $D$ be the number of defects in an 80-metre piece of cable. Then

Therefore,

由 (a)，每段 80 米钢缆“缺陷数不超过 5”的概率约为 $0.616$。把这件事视为成功，4 天中满足条件的钢缆段数服从二项分布；“少于 2 段”即 0 段或 1 段。

Let $Y$ be the number of the four pieces that contain at most 5 defects. Using the result from part (a),

Hence,

$x$ 米钢缆的缺陷数原本服从均值为 $x/16$ 的泊松分布，正态近似的均值与方差也都是 $x/16$。“少于 26 个”是缺陷数不超过 25，因此使用连续性修正 25.5。由给定概率反查标准正态分位数约为 $0.1$，再令 $t=\sqrt{x}$ 解方程，并舍去负根。

Let $N$ be the number of defects in $x$ metres of cable. Using a normal approximation,

Since

applying a continuity correction and using $Z\sim\operatorname{N}(0,1)$ gives

From the standard normal distribution,

to 4 decimal places. Therefore,

Let $t=\sqrt{x}$, where $t\geqslant0$. Then

Thus $t=20$ or $t=-20.4$. Since $t=\sqrt{x}\geqslant0$, $t=20$, so

也可以在得到正态近似方程后先平方，直接解关于 $x$ 的二次方程。平方可能引入增根，所以最后要回到未平方的方程，检查左边分子的正负。

Using the same normal approximation and continuity correction as above,

Since $x>0$, multiplying by $\sqrt{x}/4$ gives

Squaring both sides,

The candidates are

or

In the unsquared equation, $\sqrt{x}/40>0$, so

Thus $416.16$ is rejected. For $x=400$,

Therefore,