连续随机变量 $X$ 的累积分布函数为

其中 $a$、$b$ 和 $k$ 为正常数。

(a) 证明 $ak=1-bk^2$。

利用 (a)，并已知 $E(X)=\dfrac65$：

(b) 证明 $5bk^3=36-15k$。

利用 (a)，并已知 $E(X)=\dfrac65$ 且 $\operatorname{Var}(X)=\dfrac{22}{75}$：

(c) 证明 $5bk^4=52-10k^2$。

已知 $k<3$：

(d) 求 $k$ 的值。

(e) 由此求 $a$ 和 $b$ 的值。

累积分布函数在支持区间右端点必须达到 1。把 $x=k$ 代入中间一段并令 $F(k)=1$，再移项即可。

Since $F(k)=1$,

Therefore,

先对累积分布函数求导，得到概率密度函数。再用 $E(X)=\int xf(x)\,\mathrm{d}x$ 建立方程，最后把 (a) 的 $ak=1-bk^2$ 乘以 $k$ 后代入，消去 $a$。

For $0<x<k$,

Using $E(X)=\dfrac65$,

Multiplying by 30 gives

From part (a), $ak^2=k(1-bk^2)$. Hence,

由方差公式先求 $E(X^2)$，再用 $E(X^2)=\int x^2f(x)\,\mathrm{d}x$ 建立方程。最后使用 (a) 的关系式消去 $a$，自然推出题目要求的等式。

First,

Therefore,

Multiplying by 30 gives

From part (a), $ak^3=k^2(1-bk^2)$. Hence,

把 (c) 的等式除以 (b) 的等式，左边的 $b$ 与大部分 $k$ 次幂会消去，只留下关于 $k$ 的方程。解出两个候选值后，再用 $k<3$ 筛选。

Dividing the result from part (c) by the result from part (b),

Therefore,

Thus $k=2$ or $k=\dfrac{26}{5}$. Since $k<3$,

把 (d) 的 $k=2$ 代入 (b) 的关系式先求 $b$，再代回 (a) 的关系式求 $a$。“Hence” 的关键就是明确承接前面得到的三个等式。

Using $k=2$ in the result from part (b),

Using part (a),

Therefore,

求 $b$ 时也可以使用 (c) 的关系式；这是官方评分资料明确列出的另一条代入路线。得到同一个 $b$ 后，再按 (a) 求 $a$。

Using $k=2$ in the result from part (c),

Then, from part (a),

so $a=\dfrac15$. Hence,