题目

Problem

The continuous random variable $X$ has cumulative distribution function

\begin{aligned} &\,F(x)=\\ &\,\begin{cases} \begin{aligned} &0,\\ &\quad\text{for }x<0, \end{aligned}\\[4pt] \begin{aligned} &ax+bx^2,\\ &\quad\text{for }0\leq x\leq k, \end{aligned}\\[4pt] \begin{aligned} &1,\\ &\quad\text{for }x>k. \end{aligned} \end{cases} \end{aligned}

where $a$ , $b$ and $k$ are positive constants.

(a) Show that $ak=1-bk^2$

(1)

Using part (a) and given that $E(X)=\dfrac65$

(b) show that $5bk^3=36-15k$

(6)

Using part (a) and given that

\begin{aligned} &\,E(X)=\dfrac65\\ &\,\text{and }\operatorname{Var}(X)=\dfrac{22}{75} \end{aligned}

(5)

Given that $k<3$

(d) find the value of $k$

(4)

(e) Hence find the value of $a$ and the value of $b$

(2)

题目中文翻译

连续随机变量 $X$ 的累积分布函数为

\begin{aligned} &\,F(x)=\\ &\,\begin{cases} \begin{aligned} &0,\\ &\quad\text{for }x<0, \end{aligned}\\[4pt] \begin{aligned} &ax+bx^2,\\ &\quad\text{for }0\leq x\leq k, \end{aligned}\\[4pt] \begin{aligned} &1,\\ &\quad\text{for }x>k. \end{aligned} \end{cases} \end{aligned}

其中 $a$ 、 $b$ 和 $k$ 为正常数。

(a) 证明 $ak=1-bk^2$ 。

(1)

利用 (a)，并已知 $E(X)=\dfrac65$ ：

(b) 证明 $5bk^3=36-15k$ 。

(6)

利用 (a)，并已知

\begin{aligned} &\,E(X)=\dfrac65,\\ &\,\operatorname{Var}(X)=\dfrac{22}{75}. \end{aligned}

(5)

已知 $k<3$ ：

(d) 求 $k$ 的值。

(4)

(e) 由此求 $a$ 和 $b$ 的值。

(2)

解答

(a)

解法一

思路

展开

累积分布函数在支持区间右端点必须达到 1。把 $x=k$ 代入中间一段并令 $F(k)=1$ ，再移项即可。

答题过程

展开

Since $F(k)=1$ ,

ak+bk^2=1.

Therefore,

\boxed{ak=1-bk^2}.

(b)

解法一

思路

展开

先对累积分布函数求导，得到概率密度函数。再用 $E(X)=\int xf(x)\,\mathrm{d}x$ 建立方程，最后把 (a) 的 $ak=1-bk^2$ 乘以 $k$ 后代入，消去 $a$ 。

答题过程

展开

For $0<x<k$ ,

f(x)=F'(x)=a+2bx.

Using $E(X)=\dfrac65$ ,

\begin{align*} &\,\int_0^kx(a+2bx)\,\mathrm{d}x=\frac65 \\ &\,\big[\tfrac12ax^2+\tfrac23bx^3\big]_0^k=\frac65 \\ &\,\frac{ak^2}{2}+\frac{2bk^3}{3}=\frac65. \end{align*}

Multiplying by 30 gives

15ak^2+20bk^3=36.

From part (a), $ak^2=k(1-bk^2)$ . Hence,

\begin{aligned} &\,15k(1-bk^2)\\ &\,\hspace{2pt}+20bk^3=36. \end{aligned}

Expanding and collecting terms,

\begin{align*} &\,15k-15bk^3\\ &\,\hspace{2pt}+20bk^3=36 \\ &\,15k+5bk^3=36 \\ &\,5bk^3=\boxed{36-15k}. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

由方差公式先求 $E(X^2)$ ，再用 $E(X^2)=\int x^2f(x)\,\mathrm{d}x$ 建立方程。最后使用 (a) 的关系式消去 $a$ ，自然推出题目要求的等式。

答题过程

展开

First,

\begin{align*} &\,E(X^2)\\ &\,=\operatorname{Var}(X)+\big[E(X)\big]^2 \\ &\,=\frac{22}{75}+\frac{36}{25} \\ &\,=\frac{26}{15}. \end{align*}

Therefore,

\begin{align*} &\,\int_0^kx^2(a+2bx)\,\mathrm{d}x=\frac{26}{15} \\ &\,\big[\tfrac13ax^3+\tfrac12bx^4\big]_0^k=\frac{26}{15} \\ &\,\frac{ak^3}{3}+\frac{bk^4}{2}=\frac{26}{15}. \end{align*}

Multiplying by 30 gives

10ak^3+15bk^4=52.

From part (a), $ak^3=k^2(1-bk^2)$ . Hence,

\begin{aligned} &\,10k^2(1-bk^2)\\ &\,\hspace{2pt}+15bk^4=52. \end{aligned}

Expanding and collecting terms,

\begin{align*} &\,10k^2-10bk^4\\ &\,\hspace{2pt}+15bk^4=52 \\ &\,10k^2+5bk^4=52 \\ &\,5bk^4=\boxed{52-10k^2}. \end{align*}

(d)

解法一

思路

展开

把 (c) 的等式除以 (b) 的等式，左边的 $b$ 与大部分 $k$ 次幂会消去，只留下关于 $k$ 的方程。解出两个候选值后，再用 $k<3$ 筛选。

答题过程

展开

Dividing the result from part (c) by the result from part (b),

k=\frac{52-10k^2}{36-15k}.

Therefore,

\begin{align*} &\,52-10k^2\\ &\,=36k-15k^2 \\ &\,5k^2-36k+52=0 \\ &\,(k-2)(5k-26)=0. \end{align*}

Thus $k=2$ or $k=\dfrac{26}{5}$ . Since $k<3$ ,

\boxed{k=2}.

(e)

解法一

思路

展开

把 (d) 的 $k=2$ 代入 (b) 的关系式先求 $b$ ，再代回 (a) 的关系式求 $a$ 。“Hence” 的关键就是明确承接前面得到的三个等式。

答题过程

展开

Using $k=2$ in the result from part (b),

\begin{align*} &\,5b(2^3)=36-15(2) \\ &\,40b=6 \\ &\,b=\frac3{20}. \end{align*}

Using part (a),

\begin{align*} &\,2a+\frac3{20}(2^2)=1 \\ &\,2a=\frac25 \\ &\,a=\frac15. \end{align*}

Therefore,

\boxed{a=\frac15,\qquad b=\frac3{20}}.

解法二

思路

展开

求 $b$ 时也可以使用 (c) 的关系式；得到同一个 $b$ 后，再按 (a) 求 $a$ 。

答题过程

展开

Using $k=2$ in the result from part (c),

\begin{align*} &\,5b(2^4)=52-10(2^2) \\ &\,80b=12 \\ &\,b=\frac3{20}. \end{align*}

Then, from part (a),

2a+4\bigg(\frac3{20}\bigg)=1,

so $a=\dfrac15$ . Hence,

\boxed{a=\frac15,\qquad b=\frac3{20}}.

S2 2023 Jan Q6

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程

(d)

解法一

思路

答题过程

(e)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程