在一个大型人群中，40% 的成年人使用网上银行。

随机抽取 50 名成年人。

随机变量 $X$ 表示样本中使用网上银行的成年人数量。

(a) 求

(i) $P(X = 26)$

(ii) $P(X \geqslant 26)$

(iii) 使得 $P(X \leqslant k) > 0.4$ 的最小 $k$ 值。

随机抽取 600 名成年人。

(b) (i) 使用正态近似，求这 600 名成年人中不超过 222 人使用网上银行的概率。

(ii) 解释为什么在 (b)(i) 中使用正态近似是合适的。

（第 1 题共 11 分）

每名成年人是否使用网上银行可视为一次成功概率为 $0.4$ 的伯努利试验，随机抽取 50 人，所以 $X$ 服从二项分布。使用二项分布的单点概率公式计算恰有 26 人使用网上银行的概率。

Therefore,

官方二项分布累积表给出 $P(X\leqslant x)$。恰好取 26 的概率可以写成相邻两个累积概率之差。

Using the cumulative binomial tables,

累积二项分布表提供下尾概率。事件 $X\geqslant 26$ 的补事件是 $X\leqslant 25$，因此用 1 减去表中对应的累积概率。

要证明某个整数是最小值，需要检查它达到 $P(X\leqslant k)>0.4$，同时前一个整数还没有达到。比较二项分布的两个相邻累积概率即可。

From the cumulative binomial tables,

and

Therefore, the smallest possible value is

设 600 人中使用网上银行的人数为 $Y$，则 $Y\sim B(600,0.4)$。正态近似的均值为 $np=240$，方差为 $np(1-p)=144$。由于要近似离散事件 $Y\leqslant 222$，连续性修正后的上界为 $222.5$。

Let $Y$ be the number of adults who use online banking. Then

with

and

Using $J\sim N(240,144)$ and applying a continuity correction,

二项分布能否合理地用正态分布近似，要同时考虑试验次数和成功概率。本题样本量 600 很大，而且 $p=0.4$ 接近 $0.5$，所以二项分布不会严重偏斜。

The value of $n$ is large and $p=0.4$ is close to $0.5$, so a normal approximation is suitable.