题目
Problem
The continuous random variable has probability density function given by
\dfrac{1}{48}(x^2 - 8x + c) & 2 \leqslant x \leqslant 5 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$ (a) Show that $c = 31$ <div style="text-align: right;">(3)</div> (b) Find $P(2 < X < 3)$ <div style="text-align: right;">(2)</div> (c) State whether the lower quartile of $X$ is less than 3, equal to 3 or greater than 3 Give a reason for your answer. <div style="text-align: right;">(1)</div> Kei does the following to work out the mode of $X$ <div style="text-align: center;">$f'(x) = \dfrac{1}{48}(2x - 8)$</div> <div style="text-align: center;">$0 = \dfrac{1}{48}(2x - 8)$</div> <div style="text-align: center;">$x = 4$</div> <div style="text-align: center;">Hence the mode of $X$ is 4</div> Kei’s answer for the mode is incorrect. (d) Explain why Kei’s method does not give the correct value for the mode. <div style="text-align: right;">(1)</div> (e) Find the mode of $X$ Give a reason for your answer. <div style="text-align: right;">(2)</div> (Total for Question 3 is 9 marks)题目中文翻译
连续随机变量 的概率密度函数为
\dfrac{1}{48}(x^2 - 8x + c) & 2 \leqslant x \leqslant 5 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$ (a) 证明 $c = 31$ (b) 求 $P(2 < X < 3)$ (c) 说明 $X$ 的下四分位数是小于 3、等于 3 还是大于 3。 给出理由。 Kei 这样求 $X$ 的众数： <div style="text-align: center;">$f'(x) = \dfrac{1}{48}(2x - 8)$</div> <div style="text-align: center;">$0 = \dfrac{1}{48}(2x - 8)$</div> <div style="text-align: center;">$x = 4$</div> <div style="text-align: center;">因此 $X$ 的众数是 4</div> Kei 的答案不正确。 (d) 解释为什么 Kei 的方法不能给出正确的众数。 (e) 求 $X$ 的众数。 给出理由。 （第 3 题共 9 分） </details> # 解答 ## (a) ### 解法一 #### 思路 <details> <summary>展开</summary> 概率密度函数在其定义域上的积分必须等于 1。将 $f(x)$ 在 $2\leqslant x\leqslant 5$ 上积分，便可建立关于 $c$ 的方程。 </details> #### 答题过程 <details> <summary>展开</summary> Since the total probability is 1,\int_2^5 \frac{1}{48}(x^2-8x+c),\mathrm{d}x=1.
\begin{align*} \frac{1}{48} \Big[ \frac{x^3}{3}-4x^2+cx \Big]_2^5 =&, 1,\ 39-84+3c=&, 48,\ 3c=&, 93. \end{align*}
\boxed{c=31}.
</details> ## (b) ### 解法一 #### 思路 <details> <summary>展开</summary> 连续随机变量落在区间 $(2,3)$ 内的概率等于概率密度函数在该区间上的积分。代入 (a) 求得的 $c=31$ 后直接计算。 </details> #### 答题过程 <details> <summary>展开</summary>\begin{align*} P(2<X<3)=&, \int_2^3 \frac{1}{48}(x^2-8x+31),\mathrm{d}x\ =&, \frac{1}{48} \Big[ \frac{x^3}{3}-4x^2+31x \Big]_2^3\ =&, \boxed{\frac{13}{36}}. \end{align*}
</details> ## (c) ### 解法一 #### 思路 <details> <summary>展开</summary> 下四分位数 $q_1$ 满足 $P(X<q_1)=0.25$。由 (b) 可知 $P(X<3)$ 已经超过 $0.25$，而累积分布函数单调递增，因此达到 $0.25$ 时对应的 $x$ 必然小于 3。 </details> #### 答题过程 <details> <summary>展开</summary> From part (b),P(X<3)=P(2<X<3)=\frac{13}{36}>\frac14.
Since the lower quartile $q_1$ satisfies $P(X<q_1)=\frac14$, it follows that\boxed{q_1<3}.
</details> ## (d) ### 解法一 #### 思路 <details> <summary>展开</summary> 众数应当是概率密度函数取得最大值的位置。Kei 求出的驻点 $x=4$ 是二次函数图像的最低点，而不是最高点；此外，在闭区间上判断最大值还必须比较端点。 </details> #### 答题过程 <details> <summary>展开</summary> Sincef”(x)=\frac{1}{24}>0,
the stationary point at $x=4$ is a minimum, not a maximum. Kei also failed to consider the endpoints of the interval. </details> ## (e) ### 解法一 #### 思路 <details> <summary>展开</summary> $f(x)$ 是开口向上的二次函数，其定义域内的最大值只能出现在端点。分别计算 $f(2)$ 与 $f(5)$，较大者所对应的 $x$ 就是众数。 </details> #### 答题过程 <details> <summary>展开</summary> The density has its minimum at $x=4$, so its maximum on $2\leqslant x\leqslant 5$ must occur at an endpoint.f(2)=\frac{19}{48}, \qquad f(5)=\frac{16}{48}=\frac13.
Since $f(2)>f(5)$, the maximum value of the density occurs at $x=2$. Therefore the mode is\boxed{2}.