题目

Problem

The continuous random variable $X$ has probability density function given by

\begin{aligned} &\,f(x)=\\ &\,\begin{cases} \begin{aligned} &\dfrac{x^2-8x+c}{48},\\ &\quad \text{for }2\leqslant x\leqslant5 \end{aligned}\\[4pt] \begin{aligned} &0,\\ &\quad \text{otherwise} \end{aligned} \end{cases} \end{aligned}

(a) Show that $c = 31$

(3)

(b) Find $P(2 < X < 3)$

(2)

(1)

Kei does the following to work out the mode of $X$

\begin{aligned} &\,f'(x)=\dfrac{1}{48}(2x-8)\\ &\,0=\dfrac{1}{48}(2x-8)\\ &\,x=4 \end{aligned}

Hence the mode of $X$ is 4

Kei’s answer for the mode is incorrect.

(d) Explain why Kei’s method does not give the correct value for the mode.

(1)

(e) Find the mode of $X$ Give a reason for your answer.

(2)

(Total for Question 3 is 9 marks)

题目中文翻译

连续随机变量 $X$ 的概率密度函数为

\begin{aligned} &\,f(x)=\\ &\,\begin{cases} \begin{aligned} &\dfrac{x^2-8x+c}{48},\\ &\quad \text{for }2\leqslant x\leqslant5 \end{aligned}\\[4pt] \begin{aligned} &0,\\ &\quad \text{otherwise} \end{aligned} \end{cases} \end{aligned}

(a) 证明 $c = 31$

(3)

(b) 求 $P(2 < X < 3)$

(2)

(1)

Kei 这样求 $X$ 的众数：

\begin{aligned} &\,f'(x)=\dfrac{1}{48}(2x-8)\\ &\,0=\dfrac{1}{48}(2x-8)\\ &\,x=4 \end{aligned}

因此 $X$ 的众数是 4

Kei 的答案不正确。

(d) 解释为什么 Kei 的方法不能给出正确的众数。

(1)

(e) 求 $X$ 的众数。给出理由。

(2)

（第 3 题共 9 分）

解答

(a)

解法一

思路

展开

概率密度函数在其定义域上的积分必须等于 1。将 $f(x)$ 在 $2\leqslant x\leqslant 5$ 上积分，便可建立关于 $c$ 的方程。

答题过程

展开

Since the total probability is 1,

\begin{aligned} &\,\frac1{48}\int_2^5(x^2-8x+c)\,\mathrm{d}x\\ &\,=1. \end{aligned}

The difference between the boundary values is

\begin{align*} &\,\Big[\frac{x^3}{3}-4x^2+cx\Big]_2^5\\ &\,=\frac{125-8}{3}\\ &\,\hspace{2pt}-4(25-4)+c(5-2)\\ &\,=39-84+3c. \end{align*}

Therefore,

\begin{align*} &\,\frac{1}{48} \Big[ \frac{x^3}{3}-4x^2+cx \Big]_2^5\\ &\,=1,\\ &\,39-84+3c=48,\\ &\,3c=93. \end{align*}

Hence,

\boxed{c=31}.

(b)

解法一

思路

展开

连续随机变量落在区间 $(2,3)$ 内的概率等于概率密度函数在该区间上的积分。代入 (a) 求得的 $c=31$ 后直接计算。

答题过程

展开

\begin{align*} &\,P(2<X<3)\\ &\,=\int_2^3\frac{x^2-8x+31}{48}\,\mathrm{d}x\\ &\,=\frac{1}{48}\\ &\,\hspace{2pt}\times \Big[ \frac{x^3}{3}-4x^2+31x \Big]_2^3\\ &\,=\frac1{48}\Big(66-\frac{146}{3}\Big)\\ &\,=\frac1{48}\cdot\frac{198-146}{3}\\ &\,=\frac{52}{144}\\ &\,=\boxed{\frac{13}{36}}. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

下四分位数 $q_1$ 满足 $P(X<q_1)=0.25$ 。由 (b) 可知 $P(X<3)$ 已经超过 $0.25$ ，而累积分布函数单调递增，因此达到 $0.25$ 时对应的 $x$ 必然小于 3。

答题过程

展开

From part (b),

\begin{aligned} &\,P(X<3)\\ &\,=P(2<X<3)\\ &\,=\frac{13}{36}>\frac14. \end{aligned}

Since the lower quartile $q_1$ satisfies $P(X<q_1)=\frac14$ , it follows that

\boxed{q_1<3}.

(d)

解法一

思路

展开

众数应当是概率密度函数取得最大值的位置。Kei 求出的驻点 $x=4$ 是二次函数图像的最低点，而不是最高点；此外，在闭区间上判断最大值还必须比较端点。

答题过程

展开

Since

f''(x)=\frac{1}{24}>0,

the stationary point at $x=4$ is a minimum, not a maximum. Kei also failed to consider the endpoints of the interval.

(e)

解法一

思路

展开

$f(x)$ 是开口向上的二次函数，其定义域内的最大值只能出现在端点。分别计算 $f(2)$ 与 $f(5)$ ，较大者所对应的 $x$ 就是众数。

答题过程

展开

The density has its minimum at $x=4$ , so its maximum on $2\leqslant x\leqslant 5$ must occur at an endpoint.

\begin{aligned} &\,f(2)=\frac{19}{48},\\ &\,f(5)=\frac{16}{48}=\frac13. \end{aligned}

Since $f(2)>f(5)$ , the maximum value of the density occurs at $x=2$ . Therefore the mode is

\boxed{2}.

解法二

思路

展开

将二次式配方后，密度的大小取决于 $x$ 到顶点 $4$ 的距离。比较区间两端点到 $4$ 的距离，就能判断哪一个端点的密度更大，不必分别代入原式。

答题过程

展开

Completing the square,

\begin{align*} &\,f(x)=\frac{x^2-8x+31}{48}\\ &\,=\frac{(x-4)^2+15}{48}, \end{align*}

for $2\leqslant x\leqslant5$ .

The endpoint distances from the vertex are

\begin{aligned} &\,|2-4|=2,\\ &\,|5-4|=1. \end{aligned}

The density increases with $(x-4)^2$ , which is largest at $x=2$ on this interval. Therefore,

\boxed{\text{mode}=2}.

S2 2023 June Q3

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程

(d)

解法一

思路

答题过程

(e)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程