一家制造商生产蜡烛。通过质量检验的蜡烛可供出售。

已知该制造商生产的蜡烛中有 2% 不适合出售。

随机抽取了 125 支该制造商生产的蜡烛。

(a) 已知 $n$ 很大，说明在什么条件下二项分布 $B(n,p)$ 可以合理地用泊松分布近似。

(b) 使用适当的近似方法，求这些蜡烛中不超过 6 支不适合出售的概率。

该制造商还生产烛台。

Charlie 认为工厂生产的烛台中有 5% 存在轻微缺陷。 制造商声称真实比例小于 5%。 为检验制造商的说法，随机抽取 30 个烛台，其中没有一个被发现有轻微缺陷。

(c) (i) 使用 5% 显著性水平，对制造商的说法进行检验。 你应清楚陈述你的假设。

(ii) 说明为什么这不是一个合适的检验。

Ashley 建议将样本量改为 50。

(d) 评论这一改变是否会使该检验变得合适。 给出理由。

（第 4 题共 13 分）

当试验次数 $n$ 很大而成功概率 $p$ 很小时，二项分布中的成功事件属于稀有事件，此时可以使用参数为 $np$ 的泊松分布作近似。题目只要求给出关于 $p$ 的条件。

The probability $p$ must be small, for example

设不适合出售的蜡烛数为 $X$，则 $X\sim B(125,0.02)$。由于 $n$ 较大且 $p$ 很小，可以用均值为 $np=2.5$ 的泊松分布近似，再求不超过 6 支的累积概率。

Let $X$ be the number of candles that are not suitable for sale. Then

Since $n$ is large and $p$ is small,

Therefore,

制造商声称缺陷率低于 $5\%$，因此作左尾检验。以 $5\%$ 为原假设中的比例，计算在 $H_0$ 下观察到 0 个缺陷品的概率。这个概率就是左尾 $p$ 值，再与显著性水平 $0.05$ 比较。

Let $p$ be the true proportion of candle holders with minor defects.

Under $H_0$, if $D$ is the number with minor defects in the sample, then

The observed value is $D=0$, so

Since $0.2146>0.05$, there is insufficient evidence to reject $H_0$.

There is insufficient evidence at the $5\%$ significance level to support the manufacturer’s claim that the true proportion of candle holders with minor defects is less than $5\%$.

这是左尾检验，而样本中的缺陷品数量不可能低于 0。即使取得最极端的结果 $D=0$，其概率仍大于 $0.05$，所以不存在能使原假设在 $5\%$ 水平下被拒绝的临界域。

The most extreme possible result in the lower tail is $D=0$, but

Therefore the critical region is empty, so $H_0$ can never be rejected at the $5\%$ significance level. Hence this is not an appropriate test.

样本量改成 50 后，仍检查左尾最极端结果 0 个缺陷品的概率。如果这个概率依然高于 $0.05$，临界域仍为空，检验仍不合适。

For a sample of size 50, the probability of the most extreme possible lower-tail result is

Therefore the critical region would still be empty and $H_0$ could not be rejected. Increasing the sample size to 50 would not make the test appropriate.