题目
The continuous random variable has cumulative distribution function given by
0 & y < 3 \\ \dfrac{1}{16}(y^2 - 6y + a) & 3 \leqslant y \leqslant 5 \\ \dfrac{1}{12}(y + b) & 5 < y \leqslant 9 \\ \dfrac{1}{12}\left(100y - 5y^2 + c\right) & 9 < y \leqslant 10 \\ 1 & y > 10 \end{cases}$$ where $a$, $b$ and $c$ are constants. (a) Find the value of $a$ and the value of $c$ <div style="text-align: right;">(4)</div> (b) Find the value of $b$ <div style="text-align: right;">(2)</div> (c) Find $P(6 < Y \leqslant 9)$ Show your working clearly. <div style="text-align: right;">(3)</div> (d) Specify the probability density function, $f(y)$, for $5 < y \leqslant 9$ <div style="text-align: right;">(1)</div> Using the information $$\int_3^5 (6y - 5)f(y)\,\mathrm{d}y +\int_9^{10} (6y - 5)f(y)\,\mathrm{d}y = 26.5$$ (e) find $E(6Y - 5)$ You should make your method clear. <div style="text-align: right;">(4)</div> <div style="text-align: right;">(Total for Question 5 is 14 marks)</div>题目中文翻译
连续随机变量 的累积分布函数为
0 & y < 3 \\ \dfrac{1}{16}(y^2 - 6y + a) & 3 \leqslant y \leqslant 5 \\ \dfrac{1}{12}(y + b) & 5 < y \leqslant 9 \\ \dfrac{1}{12}\left(100y - 5y^2 + c\right) & 9 < y \leqslant 10 \\ 1 & y > 10 \end{cases}$$ 其中 $a$、$b$ 和 $c$ 为常数。 (a) 求 $a$ 的值和 $c$ 的值。 (b) 求 $b$ 的值。 (c) 求 $P(6 < Y \leqslant 9)$。 清楚展示你的计算过程。 (d) 写出 $5 < y \leqslant 9$ 时的概率密度函数 $f(y)$。 利用信息 $$\int_3^5 (6y - 5)f(y)\,\mathrm{d}y +\int_9^{10} (6y - 5)f(y)\,\mathrm{d}y = 26.5$$ (e) 求 $E(6Y - 5)$。 你应该清楚说明你的方法。 （第 5 题共 14 分） </details> # 解答 ## (a) ### 解法一 #### 思路 <details> <summary>展开</summary> 累积分布函数在支持区间左端点应从 0 开始，在右端点应达到 1。因此分别使用 $F(3)=0$ 与 $F(10)=1$，代入相应分段即可求出 $a$、$c$。 </details> #### 答题过程 <details> <summary>展开</summary> Since $F(3)=0$,\begin{align*} \frac1{16}\big(3^2-6(3)+a\big)=&,0 \ -9+a=&,0, \end{align*}
a=9.
Since $F(10)=1$,\begin{align*} \frac1{12}\big(100(10)-5(10^2)+c\big)=&,1 \ 500+c=&,12, \end{align*}
c=-488.
\boxed{a=9,\qquad c=-488}.
</details> ## (b) ### 解法一 #### 思路 <details> <summary>展开</summary> 累积分布函数必须连续。先用第二段和第三段在 $y=5$ 处的函数值相等，结合 (a) 的 $a=9$ 求 $b$。 </details> #### 答题过程 <details> <summary>展开</summary> By continuity at $y=5$,\frac1{16}\big(5^2-6(5)+9\big) =\frac1{12}(5+b).
\begin{align*} \frac14=&,\frac{5+b}{12} \ 3=&,5+b \ b=&,\boxed{-2}. \end{align*}
</details> ### 解法二 #### 思路 <details> <summary>展开</summary> 也可以利用 $y=9$ 处的连续性，把第三段与第四段的函数值相等，并使用 (a) 的 $c=-488$。 </details> #### 答题过程 <details> <summary>展开</summary> By continuity at $y=9$,\frac1{12}(9+b) =\frac1{12}\big(100(9)-5(9^2)-488\big).
\begin{align*} 9+b=&,900-405-488 \ 9+b=&,7 \ b=&,\boxed{-2}. \end{align*}
</details> ## (c) ### 解法一 #### 思路 <details> <summary>展开</summary> 累积分布函数满足 $P(6<Y\leqslant9)=F(9)-F(6)$。两点都使用第三段，并代入 (b) 得到的 $b=-2$。 </details> #### 答题过程 <details> <summary>展开</summary>\begin{align*} P(6<Y\leqslant9) =&,F(9)-F(6) \ =&,\frac{9-2}{12}-\frac{6-2}{12} \ =&,\frac{3}{12} \ =&,\boxed{\frac14}. \end{align*}
</details> ## (d) ### 解法一 #### 思路 <details> <summary>展开</summary> 概率密度函数是累积分布函数的导数。在 $5<y\leqslant9$ 上，$F(y)=\dfrac1{12}(y-2)$，求导即可。 </details> #### 答题过程 <details> <summary>展开</summary> For $5<y\leqslant9$,f(y)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y} \left[\frac1{12}(y-2)\right] =\boxed{\frac1{12}}.
</details> ## (e) ### 解法一 #### 思路 <details> <summary>展开</summary> 题目给出的 26.5 只包含区间 $[3,5]$ 与 $[9,10]$ 对 $E(6Y-5)$ 的贡献。要得到完整期望，还需加上中间区间 $[5,9]$ 的积分；由 (d)，该区间内 $f(y)=\dfrac1{12}$。 </details> #### 答题过程 <details> <summary>展开</summary> Using the given information and the result from part (d),\begin{align*} E(6Y-5) =&,26.5+\int_5^9(6y-5)\left(\frac1{12}\right),\mathrm{d}y \ =&,26.5+\frac1{12}\left[3y^2-5y\right]_5^9 \ =&,\frac{53}{2} +\frac1{12}\big[(243-45)-(75-25)\big] \ =&,\frac{53}{2}+\frac{37}{3} \ =&,\boxed{\frac{233}{6}} \ =&,38.8\quad\text{(to 3 significant figures)}. \end{align*}