题目
Problem
The continuous random variable has cumulative distribution function given by
0 & y < 3 \\ \dfrac{1}{16}(y^2 - 6y + a) & 3 \leqslant y < 5 \\ \dfrac{1}{12}(y - b) & 5 \leqslant y < 9 \\ \dfrac{1}{2}\left(100y - 5y^2 + c\right) & 9 \leqslant y < 10 \\ 1 & y > 10 \end{cases}$$ where $a$, $b$ and $c$ are constants. (a) Find the value of $a$ and the value of $c$ <div style="text-align: right;">(4)</div> (b) Find the value of $b$ <div style="text-align: right;">(2)</div> (c) Find $P(6 < Y \leqslant 9)$ Show your working clearly. <div style="text-align: right;">(3)</div> (d) Specify the probability density function, $f(y)$, for $5 < y \leqslant 9$ <div style="text-align: right;">(1)</div> Using the information $$\int_3^{10} (6y - 5)f(y)\,\mathrm{d}y = 26.5$$ (e) find $E(6Y - 5)$ You should make your method clear. <div style="text-align: right;">(4)</div> <div style="text-align: right;">(Total for Question 5 is 14 marks)</div>题目中文翻译
连续随机变量 的累积分布函数为
0 & y < 3 \\ \dfrac{1}{16}(y^2 - 6y + a) & 3 \leqslant y < 5 \\ \dfrac{1}{12}(y - b) & 5 \leqslant y < 9 \\ \dfrac{1}{2}\left(100y - 5y^2 + c\right) & 9 \leqslant y < 10 \\ 1 & y > 10 \end{cases}$$ 其中 $a$、$b$ 和 $c$ 为常数。 (a) 求 $a$ 的值和 $c$ 的值。 (b) 求 $b$ 的值。 (c) 求 $P(6 < Y \leqslant 9)$。 清楚展示你的计算过程。 (d) 写出 $5 < y \leqslant 9$ 时的概率密度函数 $f(y)$。 利用信息 $$\int_3^{10} (6y - 5)f(y)\,\mathrm{d}y = 26.5$$ (e) 求 $E(6Y - 5)$。 你应该清楚说明你的方法。 （第 5 题共 14 分） </details> # 解答