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S2 2023 June Q5

A Level / Edexcel / S2

IAL 2023 June Paper · Question 5

题目

Problem

A continuous random variable YY has cumulative distribution function given by

 F(y)= {0,for y<3y2−6y+a16,for 3⩽y⩽5y+b12,for 5<y⩽9100y−5y2+c12,for 9<y⩽101,for y>10\begin{aligned} &\,F(y)=\\ &\,\begin{cases} \begin{aligned} &0,\\ &\quad \text{for }y<3 \end{aligned}\\[4pt] \begin{aligned} &\dfrac{y^2-6y+a}{16},\\ &\quad \text{for }3\leqslant y\leqslant5 \end{aligned}\\[4pt] \begin{aligned} &\dfrac{y+b}{12},\\ &\quad \text{for }5<y\leqslant9 \end{aligned}\\[4pt] \begin{aligned} &\dfrac{100y-5y^2+c}{12},\\ &\quad \text{for }9<y\leqslant10 \end{aligned}\\[4pt] \begin{aligned} &1,\\ &\quad \text{for }y>10 \end{aligned} \end{cases} \end{aligned}

where aa, bb and cc are constants.

(a) Find the value of aa and the value of cc

(4)

(b) Find the value of bb

(2)

(c) Find P(6<Y⩽9)P(6 < Y \leqslant 9) Show your working clearly.

(3)

(d) Specify the probability density function, f(y)f(y), for 5<y⩽95 < y \leqslant 9

(1)

Using the information

 ∫35(6y−5)f(y) dy +∫910(6y−5)f(y) dy =26.5\begin{aligned} &\,\int_3^5 (6y-5)f(y)\,\mathrm{d}y\\ &\,+\int_9^{10}(6y-5)f(y)\,\mathrm{d}y\\ &\,=26.5 \end{aligned}

(e) find E(6Y−5)E(6Y - 5) You should make your method clear.

(4)
(Total for Question 5 is 14 marks)
题目中文翻译

连续随机变量 YY 的累积分布函数为

 F(y)= {0,for y<3y2−6y+a16,for 3⩽y⩽5y+b12,for 5<y⩽9100y−5y2+c12,for 9<y⩽101,for y>10\begin{aligned} &\,F(y)=\\ &\,\begin{cases} \begin{aligned} &0,\\ &\quad \text{for }y<3 \end{aligned}\\[4pt] \begin{aligned} &\dfrac{y^2-6y+a}{16},\\ &\quad \text{for }3\leqslant y\leqslant5 \end{aligned}\\[4pt] \begin{aligned} &\dfrac{y+b}{12},\\ &\quad \text{for }5<y\leqslant9 \end{aligned}\\[4pt] \begin{aligned} &\dfrac{100y-5y^2+c}{12},\\ &\quad \text{for }9<y\leqslant10 \end{aligned}\\[4pt] \begin{aligned} &1,\\ &\quad \text{for }y>10 \end{aligned} \end{cases} \end{aligned}

其中 aa、bb 和 cc 为常数。

(a) 求 aa 的值和 cc 的值。

(4)

(b) 求 bb 的值。

(2)

(c) 求 P(6<Y⩽9)P(6 < Y \leqslant 9)。 清楚展示你的计算过程。

(3)

(d) 写出 5<y⩽95 < y \leqslant 9 时的概率密度函数 f(y)f(y)。

(1)

利用信息

 ∫35(6y−5)f(y) dy +∫910(6y−5)f(y) dy =26.5\begin{aligned} &\,\int_3^5 (6y-5)f(y)\,\mathrm{d}y\\ &\,\hspace{2pt}+\int_9^{10}(6y-5)f(y)\,\mathrm{d}y\\ &\,=26.5 \end{aligned}

(e) 求 E(6Y−5)E(6Y - 5)。 你应该清楚说明你的方法。

(4)

（第 5 题共 14 分）

解答

(a)

解法一

思路

展开

累积分布函数在支持区间左端点应从 0 开始，在右端点应达到 1。因此分别使用 F(3)=0F(3)=0 与 F(10)=1F(10)=1，代入相应分段即可求出 aa、cc。

答题过程

展开

Since F(3)=0F(3)=0,

 116(32−6(3)+a)=0 −9+a=0,\begin{align*} &\,\frac1{16}\big(3^2-6(3)+a\big)=0 \\ &\,-9+a=0, \end{align*}

so

a=9.a=9.

Since F(10)=1F(10)=1,

 112 ×(100(10)−5(102)+c) =1 1000−500+c=12, 500+c=12,\begin{align*} &\,\frac1{12}\\ &\,\hspace{2pt}\times\big(100(10)-5(10^2)+c\big)\\ &\,=1\\ &\,1000-500+c=12,\\ &\,500+c=12, \end{align*}

so

c=−488.c=-488.

Therefore,

a=9,c=−488.\boxed{a=9,\qquad c=-488}.

(b)

解法一

思路

展开

本题 YY 是连续型随机变量，因此其累积分布函数连续。先用第二段和第三段在 y=5y=5 处的函数值相等，结合 (a) 的 a=9a=9 求 bb。

答题过程

展开

By continuity at y=5y=5,

 116(52−6(5)+9) =112(5+b).\begin{aligned} &\,\frac1{16}\big(5^2-6(5)+9\big)\\ &\,=\frac1{12}(5+b). \end{aligned}

Therefore,

 14=5+b12 3=5+b b=−2.\begin{align*} &\,\frac14=\frac{5+b}{12} \\ &\,3=5+b \\ &\,b=\boxed{-2}. \end{align*}

解法二

思路

展开

也可以利用 y=9y=9 处的连续性，把第三段与第四段的函数值相等，并使用 (a) 的 c=−488c=-488。

答题过程

展开

By continuity at y=9y=9,

 9+b12 =100(9)−5(92)−48812.\begin{aligned} &\,\frac{9+b}{12}\\ &\,=\frac{100(9)-5(9^2)-488}{12}. \end{aligned}

Thus,

 9+b=900−405−488 9+b=7 b=−2.\begin{align*} &\,9+b=900-405-488 \\ &\,9+b=7 \\ &\,b=\boxed{-2}. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

累积分布函数满足

 P(6<Y⩽9) =F(9)−F(6).\begin{aligned} &\,P(6<Y\leqslant9)\\ &\,=F(9)-F(6). \end{aligned}

两点都使用第三段，并代入 (b) 得到的 b=−2b=-2。

答题过程

展开  P(6<Y⩽9) =F(9)−F(6) =9−212−6−212 =312 =14.\begin{align*} &\,P(6<Y\leqslant9)\\ &\,=F(9)-F(6) \\ &\,=\frac{9-2}{12}-\frac{6-2}{12} \\ &\,=\frac{3}{12} \\ &\,=\boxed{\frac14}. \end{align*}

(d)

解法一

思路

展开

概率密度函数是累积分布函数的导数。在 5<y⩽95<y\leqslant9 上，F(y)=112(y−2)F(y)=\dfrac1{12}(y-2)，求导即可。

答题过程

展开

For 5<y⩽95<y\leqslant9,

 f(y) =ddy[112(y−2)] =112.\begin{aligned} &\,f(y)\\ &\,=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y} \Big[\frac1{12}(y-2)\Big]\\ &\,=\boxed{\frac1{12}}. \end{aligned}

(e)

解法一

思路

展开

题目给出的 26.5 只包含区间 [3,5][3,5] 与 [9,10][9,10] 对 E(6Y−5)E(6Y-5) 的贡献。要得到完整期望，还需加上中间区间 [5,9][5,9] 的积分；由 (d)，该区间内 f(y)=112f(y)=\dfrac1{12}。

答题过程

展开

Using the given information and the result from part (d),

 E(6Y−5) =26.5 +112∫59(6y−5) dy =26.5 +112[3y2−5y]59 =532+243−4512 −75−2512 =532+198−5012 =532+14812 =532+373 =159+746 =2336 ≈38.8.\begin{align*} &\,E(6Y-5)\\ &\,=26.5\\ &\,\hspace{2pt}+\frac1{12}\int_5^9(6y-5)\,\mathrm{d}y\\ &\,=26.5\\ &\,\hspace{2pt}+\frac1{12}\Big[3y^2-5y\Big]_5^9\\ &\,=\frac{53}{2}+\frac{243-45}{12}\\ &\,\hspace{2pt}-\frac{75-25}{12}\\ &\,=\frac{53}{2}+\frac{198-50}{12}\\ &\,=\frac{53}{2}+\frac{148}{12}\\ &\,=\frac{53}{2}+\frac{37}{3}\\ &\,=\frac{159+74}{6}\\ &\,=\boxed{\frac{233}{6}}\\ &\,\approx38.8. \end{align*}