Akia 随机从连续随机变量 $W$ 中选取一个值，$W$ 在区间 $[a, b]$ 上均匀分布。

Akia 选到大于 17 的值的概率为 $\dfrac{1}{5}$。

Akia 选到小于 $k$ 的值的概率为 $\dfrac{53}{60}$。

(a) 求 Akia 选到介于 17 和 $k$ 之间的值的概率。

已知 $\operatorname{Var}(W) = 75$。

(b) (i) 求 $a$ 和 $b$ 的值。

(ii) 求 $k$ 的值。

(c) 求 $P(-5 < W < 5)$。

(d) 求 $E(W^2)$。

（第 6 题共 12 分）

先由 $P(W>17)=\dfrac15$ 求 $P(W<17)$。由于 $W$ 是连续型随机变量，单点概率为 0，所以严格不等号不会影响结果。再用两个下尾概率相减，得到 17 与 $k$ 之间的概率。

Therefore,

均匀分布 $U[a,b]$ 的方差是 $\dfrac{(b-a)^2}{12}$，由此先求区间宽度 $b-a$。再把 $P(W>17)=\dfrac15$ 写成区间长度之比，即 $\dfrac{b-17}{b-a}=\dfrac15$，联立求出两个端点。

For $W\sim U[a,b]$,

Since $b>a$,

Also,

Hence,

Therefore,

承接 (b)(i) 得到的区间 $[-7,23]$。对均匀分布，$P(W<k)$ 等于从左端点 $-7$ 到 $k$ 的长度除以总长度 30。

Using $a=-7$ and $b=23$ from part (b)(i),

也可以承接 (a) 得到的概率。区间总长为 30，区间 $(17,k)$ 的概率为 $\frac1{12}$，所以其长度就是总长的 $\frac1{12}$，直接求出 $k$。

Using part (a) and $b-a=30$ from part (b)(i),

还可以先取补事件得到右尾概率，再用从 $k$ 到右端点 $23$ 的区间长度占比求 $k$。

Since $W$ is continuous,

Using the interval $[-7,23]$,

区间 $(-5,5)$ 完全位于 $[-7,23]$ 内。所求概率等于该子区间长度 10 除以均匀分布总区间长度 30。

先用方差与二阶原点矩的恒等式。均匀分布的均值是两端点的平均数，结合已知方差即可求 $E(W^2)$。

Since

it follows that

也可以直接使用 $U[-7,23]$ 的概率密度 $\dfrac1{30}$，按二阶原点矩的定义积分。