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IAL 2023 June S2 Q6

A Level / Edexcel / S2

IAL 2023 June Paper · Question 6

题目

Problem

Akia selects at random a value from the continuous random variable WW, which is uniformly distributed over the interval [a,b][a, b]

The probability that Akia selects a value greater than 17 is 15\dfrac{1}{5} The probability that Akia selects a value less than kk is 5360\dfrac{53}{60}

(a) Find the probability that Akia selects a value between 17 and kk

(2)

It is known that Var⁡(W)=75\operatorname{Var}(W) = 75

(b) (i) Find the value of aa and the value of bb

(4)

(ii) Find the value of kk

(2)

(c) Find P(−5<W<5)P(-5 < W < 5)

(2)

(d) Find E(W2)E(W^2)

(2)

(Total for Question 6 is 12 marks)

题目中文翻译

Akia 随机从连续随机变量 WW 中选取一个值，WW 在区间 [a,b][a, b] 上均匀分布。

Akia 选到大于 17 的值的概率为 15\dfrac{1}{5}。 Akia 选到小于 kk 的值的概率为 5360\dfrac{53}{60}。

(a) 求 Akia 选到介于 17 和 kk 之间的值的概率。

已知 Var⁡(W)=75\operatorname{Var}(W) = 75。

(b) (i) 求 aa 和 bb 的值。

(ii) 求 kk 的值。

(c) 求 P(−5<W<5)P(-5 < W < 5)。

(d) 求 E(W2)E(W^2)。

（第 6 题共 12 分）

解答

(a)

解法一

思路

展开

先由 P(W>17)=15P(W>17)=\dfrac15 求 P(W<17)P(W<17)。由于 WW 是连续型随机变量，单点概率为 0，所以严格不等号不会影响结果。再用 P(W<k)−P(W<17)P(W<k)-P(W<17) 得到 17 与 kk 之间的概率。

答题过程

展开 P(W<17)=1−P(W>17)=1−15=45.P(W<17)=1-P(W>17)=1-\frac15=\frac45.

Therefore,

P(17<W<k)= P(W<k)−P(W<17)= 5360−45= 112.\begin{align*} P(17<W<k) =&\,P(W<k)-P(W<17) \\ =&\,\frac{53}{60}-\frac45 \\ =&\,\boxed{\frac{1}{12}}. \end{align*}

(b)(i)

解法一

思路

展开

均匀分布 U[a,b]U[a,b] 的方差是 (b−a)212\dfrac{(b-a)^2}{12}，由此先求区间宽度 b−ab-a。再把 P(W>17)=15P(W>17)=\dfrac15 写成区间长度之比，即 b−17b−a=15\dfrac{b-17}{b-a}=\dfrac15，联立求出两个端点。

答题过程

展开

For W∼U[a,b]W\sim U[a,b],

Var⁡(W)=(b−a)212=75.\operatorname{Var}(W)=\frac{(b-a)^2}{12}=75.

Since b>ab>a,

b−a=900=30.b-a=\sqrt{900}=30.

Also,

P(W>17)=b−17b−a= 15b−1730= 15b= 23.\begin{align*} P(W>17)=\frac{b-17}{b-a}=&\,\frac15 \\ \frac{b-17}{30}=&\,\frac15 \\ b=&\,23. \end{align*}

Hence,

a=b−30=23−30=−7.a=b-30=23-30=-7.

Therefore,

a=−7,b=23.\boxed{a=-7,\qquad b=23}.

(b)(ii)

解法一

思路

展开

承接 (b)(i) 得到的区间 [−7,23][-7,23]。对均匀分布，P(W<k)P(W<k) 等于从左端点 −7-7 到 kk 的长度除以总长度 30。

答题过程

展开

Using a=−7a=-7 and b=23b=23 from part (b)(i),

P(W<k)=k−(−7)23−(−7)= 5360k+730= 5360k+7= 532k= 19.5.\begin{align*} P(W<k)=\frac{k-(-7)}{23-(-7)}=&\,\frac{53}{60} \\ \frac{k+7}{30}=&\,\frac{53}{60} \\ k+7=&\,\frac{53}{2} \\ k=&\,\boxed{19.5}. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

区间 (−5,5)(-5,5) 完全位于 [−7,23][-7,23] 内。所求概率等于该子区间长度 10 除以均匀分布总区间长度 30。

答题过程

展开 P(−5<W<5)= 5−(−5)23−(−7)= 1030= 13.\begin{align*} P(-5<W<5) =&\,\frac{5-(-5)}{23-(-7)} \\ =&\,\frac{10}{30} \\ =&\,\boxed{\frac13}. \end{align*}

(d)

解法一

思路

展开

使用恒等式 Var⁡(W)=E(W2)−[E(W)]2\operatorname{Var}(W)=E(W^2)-[E(W)]^2。均匀分布的均值是两端点的平均数，结合已知方差即可求 E(W2)E(W^2)。

答题过程

展开 E(W)=a+b2=−7+232=8.E(W)=\frac{a+b}{2}=\frac{-7+23}{2}=8.

Since

Var⁡(W)=E(W2)−[E(W)]2,\operatorname{Var}(W)=E(W^2)-[E(W)]^2,

it follows that

E(W2)= Var⁡(W)+[E(W)]2= 75+82= 139.\begin{align*} E(W^2) =&\,\operatorname{Var}(W)+[E(W)]^2 \\ =&\,75+8^2 \\ =&\,\boxed{139}. \end{align*}

解法二

思路

展开

也可以直接使用 U[−7,23]U[-7,23] 的概率密度 130\dfrac1{30}，按二阶原点矩的定义积分。

答题过程

展开 E(W2)= ∫−723w2(130) dw= 130[w33]−723= 233−(−7)390= 139.\begin{align*} E(W^2) =&\,\int_{-7}^{23}w^2\left(\frac1{30}\right)\,\mathrm{d}w \\ =&\,\frac1{30}\left[\frac{w^3}{3}\right]_{-7}^{23} \\ =&\,\frac{23^3-(-7)^3}{90} \\ =&\,\boxed{139}. \end{align*}