题目

Problem

Sam is a telephone sales representative. For each call to a customer

• Sam either makes a sale or does not make a sale

• sales are made independently

Past records show that, for each call to a customer, the probability that Sam makes a sale is 0.2

(a) Find the probability that Sam makes

(i) exactly 2 sales in 14 calls,

(ii) more than 3 sales in 25 calls.

(4)

Sam makes $n$ calls each day.

(b) Find the minimum value of $n$

(i) so that the expected number of sales each day is at least 6

(2)

(ii) so that the probability of at least 1 sale in a randomly selected day exceeds 0.95

(4)

(Total for Question 1 is 10 marks)

题目中文翻译

山姆是一名电话销售代表。对于给客户的每次通话

• 山姆要么成交要么未成交

• 销售是独立进行的

过去的记录显示，对于给客户的每次通话，山姆成交的概率为 0.2

(a) 求山姆在以下情况成交的概率

(i) 在 14 次通话中恰好成交 2 次，

(ii) 在 25 次通话中成交超过 3 次。

(4)

山姆每天打 $n$ 次电话。

(b) 求最小的 $n$ 值

(i) 使得每天的预期成交数至少为 6

(2)

(ii) 使得随机选择的一天中至少成交 1 次的概率超过 0.95

(4)

（第 1 题共 10 分）

解答

(a)(i)

解法一

思路

展开

每次通话是否成交相互独立，而且每次成交概率固定为 $0.2$ ，所以 14 次通话中的成交次数服从二项分布。要求恰好成交 2 次，直接使用二项分布的单点概率公式。

答题过程

展开

Let $X$ be the number of sales in $14$ calls. Then

X\sim\operatorname{B}(14,0.2).

Therefore,

\begin{align*} &\,P(X=2)\\[2mm] &\,=\binom{14}{2}(0.2)^2(0.8)^{12}\\[2mm] &\,=0.250138\ldots\\[2mm] &\,\approx\boxed{0.2501}. \end{align*}

(a)(ii)

解法一

思路

展开

25 次通话中的成交次数同样服从二项分布。题目要求“超过 3 次”，即 $P(X>3)$ ；计算其补事件 $P(X\leqslant 3)$ 更简洁。

答题过程

展开

Let $X$ be the number of sales in $25$ calls. Then

X\sim\operatorname{B}(25,0.2).

Hence,

\begin{align*} &\,P(X>3)\\[2mm] &\,=1-P(X\leqslant 3)\\[2mm] &\,=1-0.233993\ldots\\[2mm] &\,=0.766006\ldots\\[2mm] &\,\approx\boxed{0.766}. \end{align*}

Equivalently, the cumulative probability being subtracted is

\begin{align*} &\,P(X\leqslant 3)\\[2mm] &\,=\sum_{r=0}^{3}\binom{25}{r}(0.2)^r\\[2mm] &\,\hspace{2pt}\times(0.8)^{25-r}. \end{align*}

(b)(i)

解法一

思路

展开

每天 $n$ 次通话的成交次数服从 $\operatorname{B}(n,0.2)$ ，其期望为 $np=0.2n$ 。将“至少为 6”写成不等式，并取满足条件的最小整数。

答题过程

展开

Let $Y$ be the number of sales in one day. Then

Y\sim\operatorname{B}(n,0.2)

and

E(Y)=0.2n.

We require

\begin{align*} 0.2n\geqslant&\,6,\\[2mm] n\geqslant&\,30. \end{align*}

Therefore, the minimum value is

\boxed{n=30}.

(b)(ii)

解法一

思路

展开

“至少成交 1 次”的补事件是“一次也没有成交”。一天内没有成交的概率为 $0.8^n$ ，因此先把条件化为 $0.8^n<0.05$ ，再取对数求整数下界。由于 $\ln 0.8<0$ ，相除时不等号方向要反转。

答题过程

展开

We require

P(Y\geqslant 1)>0.95.

Using the complementary event,

\begin{align*} 1-P(Y=0)>&\,0.95,\\[2mm] 1-(0.8)^n>&\,0.95,\\[2mm] (0.8)^n<&\,0.05. \end{align*}

Taking logarithms, and noting that $\ln 0.8<0$ ,

\begin{align*} n\ln 0.8<&\,\ln 0.05,\\[2mm] n>&\,\frac{\ln 0.05}{\ln 0.8}\\[2mm] >&\,13.425\ldots \end{align*}

Since $n$ must be an integer, the minimum possible value is

\boxed{n=14}.

Indeed,

0.8^{13}=0.05497\ldots>0.05

but

0.8^{14}=0.04398\ldots<0.05,

which confirms that $14$ is the minimum.

S2 2023 Oct Q1

题目

解答

(a)(i)

解法一

思路

答题过程

(a)(ii)

解法一

思路

答题过程

(b)(i)

解法一

思路

答题过程

(b)(ii)

解法一

思路

答题过程