连续随机变量 $X$ 的概率密度函数 $f(x)$ 为

其中 $a$、$b$、$c$ 和 $d$ 是常数，满足

• 在 $x=4$ 处，$bx+c=ax^3$

• $bx+c$ 是一条直线段，端点坐标为 $(4,64a)$ 和 $(d,0)$

(a) 写出 $X$ 的众数。

已知 $X$ 的众数等于 $X$ 的中位数。

(b) 使用代数积分证明 $a=\dfrac{1}{128}$。

(c) 求 $d$ 的值。

(d) 由此求 $b$ 和 $c$ 的值。

（第 2 题共 8 分）

在 $0\leqslant x\leqslant 4$ 上，$ax^3$ 随 $x$ 增大而增大；题目又说明第二段是从 $(4,64a)$ 降至 $(d,0)$ 的直线段。因此概率密度在 $x=4$ 处取得最大值，众数就是 $4$。

The probability density increases up to $x=4$ and then decreases along the straight-line segment. Hence

由 (a)，众数是 $4$。题目给出众数等于中位数，所以 $4$ 也是中位数，即 $P(X\leqslant 4)=\frac12$。对第一段密度函数从 $0$ 积分到 $4$，即可求出 $a$。

Since the mode is equal to the median and the mode is $4$,

Therefore,

Hence,

因为 $4$ 是中位数，$x>4$ 部分的总面积也是 $\frac12$。由 (b)，直线段在 $x=4$ 处的高度为 $64a=\frac12$，而在 $x=d$ 处高度为 $0$，所以右半部分是底为 $d-4$、高为 $\frac12$ 的三角形。

Since $4$ is the median,

Also,

The area under the straight-line segment is therefore

Hence,

Thus,

也可以直接使用概率密度曲线下的总面积为 $1$。左边曲线下的面积是积分 $\int_0^4 ax^3\,\mathrm{d}x$，右边仍是三角形面积；代入 (b) 的 $a$ 后解出 $d$。

The total area under the probability density function is $1$, so

Using $a=\frac{1}{128}$ gives

Therefore,

直线段的两个端点现为 $(4,\frac12)$ 和 $(6,0)$。在一次函数 $bx+c$ 中，$b$ 就是直线斜率；求出 $b$ 后，将任一端点代入便可求 $c$。

The straight-line segment has endpoints

Hence its gradient is

Using the point $(6,0)$,

Therefore,

把两个端点分别代入 $y=bx+c$，可得到关于 $b,c$ 的两个联立方程。两式相减即可先消去 $c$。

Substituting the endpoints into $y=bx+c$ gives

and

Subtracting the first equation from the second,

Then

Thus,