每天早上纳夫特杰从家出发去上班。纳夫特杰在 08:00 到 08:15 之间的随机时间离开家

• 纳夫特杰步行到公交站总是需要3 分钟

• 公交车每15 分钟一班，纳夫特杰乘坐到达的第一辆公交车

• 纳夫特杰上公交车后，总是还需要29 分钟到达工作地点

纳夫特杰从家到工作地点的总时间 $T$（分钟）用区间 $[\alpha,\beta]$ 上的连续均匀分布建模

(a) (i) 证明 $\alpha=32$

(ii) 证明 $\beta=47$

(b) 完整说明该分布的概率密度函数。

(c) 求以下的值

(i) $\operatorname{E}(T)$

(ii) $\operatorname{Var}(T)$

(d) 求纳夫特杰的行程时间在35 分钟的5 分钟范围内的概率。

（第 3 题共 9 分）

最短行程发生在 Navtej 到达公交站时恰好有公交车到站，等待时间为 0。总时间只包含步行 3 分钟和乘车后 29 分钟。

The minimum waiting time for a bus is 0 minutes. Therefore,

最长行程发生在 Navtej 刚错过一班公交车，最长等待时间为 15 分钟。将步行、等待和乘车时间相加，即得总时间的上端点。

The maximum waiting time is 15 minutes. Hence

$T$ 在 $[32,47]$ 上连续均匀分布，区间长度为 15，所以区间内密度恒为 $1/15$，区间外为 0。题目要求“完整说明”，因此必须同时写出变量和各段范围。

连续均匀分布的期望是区间两端点的中点。

区间 $[a,b]$ 上连续均匀分布的方差为 $(b-a)^2/12$，这里区间长度为 15。

“在 35 分钟的 5 分钟范围内”表示 $30<T<40$。但 $T$ 的支持区间从 32 开始，所以有效部分是 $32<T<40$；均匀分布下，概率等于有效区间长度 8 除以总长度 15。

Being within 5 minutes of 35 minutes means

Intersecting this with the support $32\leqslant T\leqslant47$ gives $32<T<40$. Therefore,