题目

Problem

A manufacturer makes t-shirts in 3 sizes, small, medium and large.

20% of the t-shirts made by the manufacturer are small and sell for £10

30% of the t-shirts made by the manufacturer are medium and sell for £12

The rest of the t-shirts made by the manufacturer are large and sell for £15

(a) Find the mean value of the t-shirts made by the manufacturer.

(2)

A random sample of 3 t-shirts made by the manufacturer is taken.

(b) List all the possible combinations of the individual selling prices of these 3 t-shirts.

(2)

(6)

(Total for Question 4 is 10 marks)

题目中文翻译

一家制造商生产3 种尺码的 T 恤：小号、中号和大号。

• 该制造商生产的20% 的 T 恤是小号，售价为 10 英镑

• 该制造商生产的30% 的 T 恤是中号，售价为 12 英镑

• 其余的 T 恤是大号，售价为 15 英镑

(a) 求该制造商生产的 T 恤的平均价值。

(2)

随机抽取该制造商生产的3 件 T 恤作为样本。

(b) 列出这3 件 T 恤个体售价的所有可能组合。

(2)

(6)

（第 4 题共 10 分）

解答

(a)

解法一

思路

展开

大号 T 恤所占比例为 $1-0.2-0.3=0.5$ 。把三种售价分别乘以对应概率后相加，即得每件 T 恤售价的期望值。

答题过程

展开

The probability that a t-shirt is large is

1-0.2-0.3=0.5.

Let $X$ be the selling price of one t-shirt. The mean selling price is

\begin{align*} &\,\operatorname{E}(X)\\[2mm] &\,=0.2(10)+0.3(12)\\ &\,\hspace{2pt}+0.5(15)\\[2mm] &\,=\boxed{\pounds13.10}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

这里只需列出不计抽取顺序的价格组合。按非递减顺序排列三个价格，系统枚举 10、12、15 各出现三次、两次、一次或不出现的所有情况，共有 10 种。

答题过程

展开

The 10 possible unordered combinations are

Selling-price combination (£)
$(10,10,10)$
$(10,10,12)$
$(10,10,15)$
$(10,12,12)$
$(10,12,15)$
$(10,15,15)$
$(12,12,12)$
$(12,12,15)$
$(12,15,15)$
$(15,15,15)$

(c)

解法一

思路

展开

中位数只能是 10、12 或 15。利用 (b) 的组合逐类求概率：异价组合要乘以对应排列数；例如两件 10 加一件其他价格有 3 种排列，而三个价格各一件有 6 种排列。

答题过程

展开

The individual selling-price probabilities are

\begin{align*} P(X=10)=&\,0.2,\\ P(X=12)=&\,0.3,\\ P(X=15)=&\,0.5. \end{align*}

Let $M$ be the median selling price. For $M=10$ ,

\begin{align*} &\,P(M=10)\\[2mm] &\,=(0.2)^3\\ &\,\hspace{2pt}+3(0.2)^2(0.3)\\ &\,\hspace{4pt}+3(0.2)^2(0.5)\\ &\,=0.104=\frac{13}{125}. \end{align*}

For $M=12$ ,

\begin{align*} &\,P(M=12)\\[2mm] &\,=(0.3)^3\\ &\,\hspace{2pt}+3(0.3)^2(0.2)\\ &\,\hspace{4pt}+3(0.3)^2(0.5)\\ &\,\hspace{6pt}+6(0.2)(0.3)(0.5)\\ &\,=0.396=\frac{99}{250}. \end{align*}

For $M=15$ ,

\begin{align*} &\,P(M=15)\\[2mm] &\,=(0.5)^3\\ &\,\hspace{2pt}+3(0.5)^2(0.3)\\ &\,\hspace{4pt}+3(0.5)^2(0.2)\\ &\,=0.5=\frac12. \end{align*}

Hence the sampling distribution of $M$ is

$m$	$P(M=m)$
10	$\dfrac{13}{125}$
12	$\dfrac{99}{250}$
15	$\dfrac12$

解法二

思路

展开

三件样本的中位数为最低售价 10，当且仅当至少两件售价为 10；中位数为最高售价 15，当且仅当至少两件售价为 15。分别用二项概率求出这两端，再用总概率为 1 求中间的 $P(M=12)$ 。

答题过程

展开

The median is 10 when at least two of the three prices are 10. Thus

\begin{align*} &\,P(M=10)\\[2mm] &\,=\binom32(0.2)^2(0.8)\\ &\,\hspace{2pt}+(0.2)^3\\ &\,=0.104. \end{align*}

Similarly, the median is 15 when at least two prices are 15:

\begin{align*} &\,P(M=15)\\[2mm] &\,=\binom32(0.5)^2(0.5)\\ &\,\hspace{2pt}+(0.5)^3\\ &\,=0.5. \end{align*}

The same endpoint probabilities can also be found by subtracting the cases with at most one of the relevant price:

\begin{align*} &\,P(M=10)\\[2mm] &\,=1-(0.8)^3\\ &\,\hspace{2pt}-3(0.8)^2(0.2)\\ &\,=0.104. \end{align*}

\begin{align*} &\,P(M=15)\\[2mm] &\,=1-(0.5)^3\\ &\,\hspace{2pt}-3(0.5)^2(0.5)\\ &\,=0.5. \end{align*}

Therefore,

\begin{align*} &\,P(M=12)\\[2mm] &\,=1-P(M=10)\\ &\,\hspace{2pt}-P(M=15)\\ &\,=1-0.104-0.5\\ &\,=0.396. \end{align*}

This gives the same sampling distribution:

$m$	$P(M=m)$
10	$0.104$
12	$0.396$
15	$0.5$

S2 2023 Oct Q4

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程