一家超市以每周平均6 次的速率收到投诉。

(a) 说明一个必要的假设，以便可以使用泊松分布来建模该超市收到的投诉数。

(b) 求在给定一周内以下情况的概率

(i) 该超市收到少于3 次投诉，

(ii) 该超市收到至少6 次投诉。

在随机选择的一周内，该超市收到12 次投诉。

(c) 在5% 的显著性水平下，检验是否有证据表明平均每周投诉数大于6 次。

清楚地陈述你的假设。

在超市做出改变后，它在6 周内收到26 次投诉。

(d) 使用合适的近似方法检验是否有证据表明改变后平均每周收到的投诉数少于6 次。

你应清楚地陈述你的假设，并使用5% 的显著性水平。

（第5 题共16 分）

泊松模型要求事件独立发生、平均发生率保持不变，并且事件通常逐个发生。题目只要求一个必要假设，结合投诉语境说明其中一点即可。

The complaints received by the supermarket occur independently of one another.

一周投诉数服从均值为 6 的泊松分布。“少于 3 次”即投诉数为 0、1 或 2，求对应累积概率。

Let $X$ be the number of complaints received in one week. Then

Therefore,

“至少 6 次”即 $X\geqslant6$。用补事件，从 1 减去 $X\leqslant5$ 的累积概率。

要检验平均投诉数是否大于 6，应作右尾泊松检验。在原假设下以 $\operatorname{Po}(6)$ 计算观察到 12 次或更多投诉的概率，并与 $5\%$ 比较，最后给出有语境的结论。

Let $\lambda$ be the mean number of complaints received per week.

Under $H_0$, $X\sim\operatorname{Po}(6)$. The $p$-value is

Since $0.0201<0.05$, reject $H_0$. There is sufficient evidence, at the $5\%$ significance level, that the mean number of complaints received is greater than 6 per week.

也可以先求右尾临界区域。寻找使右尾概率不超过 $0.05$ 的最小投诉数，并检查相邻边界以确认临界值；再判断观测值 12 是否落入临界区域。

Under $H_0$, $X\sim\operatorname{Po}(6)$. Now

whereas

Therefore the $5\%$ upper-tail critical region is

Since the observed value is $12$, it lies in the critical region. Reject $H_0$ and conclude that there is sufficient evidence that the mean number of complaints is greater than 6 per week.

这里检验改变后的每周平均投诉数是否低于 6，因此作左尾检验。原假设下 6 周总投诉数服从 $\operatorname{Po}(36)$；按题意使用均值与方差均为 36 的正态分布近似。对观测事件“总数不超过 26”使用连续性修正 26.5，求左尾概率并与 $5\%$ 比较。

Let $\lambda$ be the mean number of complaints received per week after the changes.

Under $H_0$, let $T$ be the total number of complaints received in 6 weeks. Then

Using a normal approximation,

Applying a continuity correction,

Since $0.0567>0.05$, do not reject $H_0$. There is insufficient evidence, at the $5\%$ significance level, that the mean number of complaints received after the changes is less than 6 per week.

另一条官方路线是先求正态近似下的左尾临界值。把带连续性修正的边界 $x+0.5$ 标准化并令其等于左尾 $5\%$ 分位数 $-1.6449$，再把连续边界转换成整数临界区域，判断观测值 26 是否在其中。

Under $H_0$, use $Y\sim\operatorname{N}(36,36)$. Let $x$ be the largest integer in the lower-tail critical region. Then

Hence

Thus the integer critical region is

The observed value, 26, is not in the critical region. Therefore, do not reject $H_0$; there is insufficient evidence that the mean number of complaints after the changes is less than 6 per week.