题目

Problem

The continuous random variable $Y$ has cumulative distribution function given by

F(y)= \begin{cases} 0, & y<0,\\ \dfrac{y^2}{21}, & 0\leqslant y\leqslant k,\\ \dfrac{2}{15}\left(6y-\dfrac{y^2}{2}\right)-\dfrac75, & k<y\leqslant6,\\ 1, & y>6. \end{cases}

(a) Find $P\left(Y<\dfrac{k}{4}\mid Y<k\right)$

(2)

(b) Find the value of k

(4)

(6)

(Total for Question 6 is 12 marks)

题目中文翻译

连续随机变量 $Y$ 的累积分布函数为

F(y)= \begin{cases} 0, & y<0,\\ \dfrac{y^2}{21}, & 0\leqslant y\leqslant k,\\ \dfrac{2}{15}\left(6y-\dfrac{y^2}{2}\right)-\dfrac75, & k<y\leqslant6,\\ 1, & y>6. \end{cases}

(a) 求 $P\left(Y<\dfrac{k}{4}\mid Y<k\right)$ 。

(b) 求 $k$ 的值。

（第 6 题共 12 分）

解答

(a)

解法一

思路

展开

由于 $k/4<k$ ，条件概率的分子就是 $P(Y<k/4)$ 。这两个概率都由 CDF 的同一段 $F(y)=y^2/21$ 给出，作比后 $k$ 会约去。

答题过程

展开

Since $k/4<k$ ,

\begin{align*} P\left(Y<\frac{k}{4}\mid Y<k\right) =&\,\frac{F(k/4)}{F(k)}\\ =&\,\frac{(k/4)^2/21}{k^2/21}\\ =&\,\boxed{\frac1{16}}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

累积分布函数必须连续，因此在分段点 $y=k$ 处左右两段取值相等。建立方程后清除分母，所得二次式恰好是完全平方，从而唯一确定 $k$ 。

答题过程

展开

Continuity of the cumulative distribution function at $y=k$ gives

\frac{k^2}{21} =\frac{2}{15}\left(6k-\frac{k^2}{2}\right)-\frac75.

Multiplying by 105 and simplifying,

\begin{align*} 5k^2=&\,84k-7k^2-147,\\ 4k^2-28k+49=&\,0,\\ (2k-7)^2=&\,0. \end{align*}

Therefore,

\boxed{k=\frac72}.

(c)

解法一

思路

展开

先对 CDF 的两个非恒定分段求导，得到概率密度函数。再把 $\operatorname{E}(Y)=\int yf(y)\,\mathrm{d}y$ 按分段点 $k=7/2$ 拆成两个积分，保留代数计算过程并化成精确分数。

答题过程

展开

Differentiating the cumulative distribution function gives

f(y)= \begin{cases} \dfrac{2y}{21}, & 0<y\leqslant\dfrac72,\\ \dfrac{2}{15}(6-y), & \dfrac72<y\leqslant6,\\ 0, & \text{otherwise}. \end{cases}

Therefore,

\begin{align*} \operatorname{E}(Y) =&\,\frac2{21}\int_0^{7/2}y^2\,\mathrm{d}y\\ &\,\hspace{2pt}+\frac2{15}\int_{7/2}^{6}(6y-y^2)\,\mathrm{d}y\\ =&\,\frac2{21}\left[\frac{y^3}{3}\right]_0^{7/2}\\ &\,\hspace{2pt}+\frac2{15} \left[3y^2-\frac{y^3}{3}\right]_{7/2}^{6}\\ =&\,\frac2{21}\left(\frac{343}{24}\right) +\frac2{15}\left(\frac{325}{24}\right)\\ =&\,\frac{49}{36}+\frac{65}{36}\\ =&\,\boxed{\frac{19}{6}}. \end{align*}

Thus $\operatorname{E}(Y)=3.17$ to 3 significant figures.

IAL 2023 Oct S2 Q6

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程