题目

Problem

The discrete random variable $X$ is given by

X\sim\operatorname{B}(n,p)

The value of $n$ and the value of $p$ are such that $X$ can be approximated by a normal random variable $Y$ where

Y\sim\operatorname{N}(\mu,\sigma^2)

Given that when using a normal approximation

P(X<86)=0.2266

and

P(X>97)=0.1056

(a) show that $\sigma=6$

(7)

(b) Hence find the value of $n$ and the value of $p$

(3)

(Total for Question 7 is 10 marks)

题目中文翻译

离散随机变量 $X$ 满足

X\sim\operatorname{B}(n,p)

$n$ 和 $p$ 的值使得 $X$ 可以用正态随机变量 $Y$ 近似，其中

Y\sim\operatorname{N}(\mu,\sigma^2)

已知使用正态近似时

P(X<86)=0.2266

且

P(X>97)=0.1056

(a) 证明 $\sigma=6$ 。

(7)

(b) 由此求 $n$ 和 $p$ 的值。

(3)

（第 7 题共 10 分）

解答

(a)

解法一

思路

展开

把两个离散概率分别作连续性修正： $X<86$ 即 $X\leqslant85$ ，对应正态边界 85.5； $X>97$ 即 $X\geqslant98$ ，对应边界 97.5。由给定概率查标准正态分位数，得到两个含 $\mu,\sigma$ 的方程；两式相减消去 $\mu$ ，自然推出 $\sigma=6$ 。

答题过程

展开

Let $Z\sim\operatorname{N}(0,1)$ . Using continuity corrections,

\begin{align*} &\,P(X<86)\\[2mm] &\,\approx P(Y<85.5)\\ &\,=0.2266. \end{align*}

Since $\Phi(-0.75)=0.2266$ ,

\frac{85.5-\mu}{\sigma}=-0.75.

Also,

\begin{align*} &\,P(X>97)\\[2mm] &\,\approx P(Y>97.5)\\ &\,=0.1056. \end{align*}

Since $P(Z>1.25)=0.1056$ ,

\frac{97.5-\mu}{\sigma}=1.25.

Subtracting the first equation from the second gives

\begin{align*} &\,\frac{97.5-85.5}{\sigma}\\[2mm] &\,=1.25-(-0.75),\\[2mm] &\,\frac{12}{\sigma}=2,\\[2mm] &\,\sigma=6, \end{align*}

as required.

(b)

解法一

思路

展开

先把 (a) 的 $\sigma=6$ 代回任一标准化方程求 $\mu$ 。二项分布的正态近似满足 $\mu=np$ 、 $\sigma^2=np(1-p)$ ；用方差方程除以均值方程，可直接求出 $p$ ，再求 $n$ 。

答题过程

展开

Using $\sigma=6$ in

\frac{85.5-\mu}{6}=-0.75

gives

\begin{align*} 85.5-\mu=&\,-0.75(6),\\ 85.5-\mu=&\,-4.5,\\ \mu=&\,90. \end{align*}

For $X\sim\operatorname{B}(n,p)$ ,

np=\mu=90

and

np(1-p)=\sigma^2=36.

Dividing the second equation by the first,

1-p=\frac{36}{90}=0.4,

p=0.6.

Finally,

n=\frac{90}{0.6}=150.

Hence

\boxed{n=150,\qquad p=0.6}.

S2 2023 Oct Q7

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程