超市经理正在调查每天收到的客户投诉数量。

随机抽取 180 天作为样本，结果如下表所示。

(a) 计算这些数据的均值和方差。

(b) 解释为什么 (a) 中的结果表明泊松分布可能是每天投诉数的合适模型。

经理使用均值为 3 的泊松分布来建模每天的投诉数。

(c) 对于随机选择的一天，使用经理的模型求以下情况的概率

(i) 至少 3 次投诉，

(ii) 超过 4 次但少于 8 次投诉。

一周由 7 个连续天组成。

(d) 使用经理的模型和合适的近似方法，证明在随机选择的一周内投诉数少于 19 次的概率为 0.29（保留 2 位小数）。

清楚地展示你的计算过程。 （依赖计算器技术的解答不可接受。）

随机选择一个 13 周的时间段。

(e) 求在此期间恰好有 5 周的投诉数少于 19 次的概率。

清楚地展示你的计算过程。

（第 1 题共 16 分）

用频数表计算 $\sum fx$ 与 $\sum fx^2$。样本中“7 或以上”的频数为 0，不影响计算。均值为 $\sum fx/180$，数据方差按 $\sum fx^2/180-\bar{x}^2$ 计算。

From the frequency table,

and

Therefore,

and

泊松分布的均值与方差相等。比较 (a) 的两个统计量：$2.95$ 与 $2.91$ 十分接近，因此数据具备泊松模型应有的特征。

The sample mean, $2.95$, is close to the sample variance, $2.91$. Since a Poisson distribution has equal mean and variance, a Poisson model may be suitable.

经理的模型是均值为 3 的泊松分布。“至少 3 次”用补事件表示为 1 减去不超过 2 次的概率。

Let $W$ be the number of complaints on a randomly selected day. Then

Hence

“超过 4 次但少于 8 次”对应 $W=5,6,7$。用 $P(W\leqslant7)$ 减去 $P(W\leqslant4)$ 计算。

也可以把所需事件写成 $W=5$、$W=6$ 或 $W=7$，分别代入泊松分布的单点概率公式后相加。

For $W\sim\operatorname{Po}(3)$,

一周投诉总数是 7 个独立 $\operatorname{Po}(3)$ 变量之和，因此精确服从 $\operatorname{Po}(21)$。题目要求使用合适的近似方法，所以用均值和方差均为 21 的正态分布近似；“少于 19”即离散变量不超过 18，连续性修正后的边界为 18.5。

Let $S$ be the total number of complaints in one week. Then

Using a normal approximation,

Let $Z\sim\operatorname{N}(0,1)$. Since fewer than 19 complaints means $S\leqslant18$, applying a continuity correction gives

Using $-0.55$ in the standard normal tables,

由 (d)，一周投诉少于 19 次的概率按题目要求取 $0.29$。把 13 周视为独立二项试验，求恰好 5 周满足条件的点概率。

Let $Y$ be the number of weeks with fewer than 19 complaints. Using the result from part (d),

Therefore,