罗文认为 35% 的 A 型真空管在交替高低温环境下会破裂。

罗文随机抽取 15 个 A 型真空管作为样本，并使用双尾检验在 5% 的显著性水平下检验他的假设。

(a) 给出罗文需要做的两个假设（在上下文中），以便二项分布能成为在交替高低温环境下破裂的 A 型真空管数量的合适模型。

(b) 使用二项分布，求该检验的临界区域。

你应说明每个尾部的拒绝概率，该概率应尽可能接近 0.025

(c) 根据 (b) 中的临界区域，求该检验的实际显著性水平

罗文记录在最新一批 15 个暴露于交替高低温环境下的 A 型真空管中，有 4 个破裂。

(d) 参考 (b)，评论罗文的假设。给出你答案的理由。

罗文改为 B 型真空管。他随机抽取 40 个 B 型真空管作为样本，发现其中 8 个在交替高低温环境下破裂。

(e) 在 5% 的显著性水平下，检验是否有证据表明在交替高低温环境下破裂的 B 型真空管比例低于 35%。

你应清楚地陈述你的假设。

（第 3 题共 12 分）

二项模型要求固定次数的试验、每次只有破裂或不破裂两种结果、各次相互独立，而且成功概率保持不变。题目已固定抽取 15 个并定义了两种结果，因此需要结合真空管语境说明独立性与恒定破裂概率。

• Whether one type A vacuum tube shatters is independent of whether any other tube shatters.
• Each type A vacuum tube has the same constant probability of shattering under the alternating temperatures.

在 Rowan 的看法成立时，破裂数服从 $\operatorname{B}(15,0.35)$。双尾检验分别在上下尾寻找不超过 $0.025$ 且尽可能接近它的累积概率，并把对应的破裂数写成临界区域，而不能把临界区域写成概率事件本身。

Let $C$ be the number of type A vacuum tubes that shatter. Under Rowan’s belief,

For the lower tail,

For the upper tail,

These are the closest tail probabilities to $0.025$ without exceeding it. Hence the critical region is

双尾检验的实际显著性水平是原假设成立时落入整个临界区域的概率，因此把 (b) 的两个尾概率相加。

Thus the actual significance level is $2.66\%$.

把观测值 4 与 (b) 的临界区域比较。4 既不小于等于 1，也不大于等于 10，因此不拒绝 Rowan 关于比例为 $0.35$ 的看法；注意“不拒绝”不等于证明其看法正确。

Since 4 is not in the critical region, there is no evidence to reject Rowan’s belief that $35\%$ of type A vacuum tubes shatter under the alternating temperatures.

要检验 B 型真空管的破裂比例是否低于 $35\%$，应使用左尾二项检验。写出关于总体比例 $p$ 的假设，在原假设下求观察到 8 个或更少破裂的概率，再与 $5\%$ 比较并作出有语境的结论。

Let $p$ be the proportion of type B vacuum tubes that shatter under the alternating temperatures.

Under $H_0$, let $B$ be the number that shatter. Then

The $p$-value is

Since $0.0303<0.05$, reject $H_0$. There is sufficient evidence, at the $5\%$ significance level, that the proportion of type B vacuum tubes that shatter under the alternating temperatures is lower than $35\%$.