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S2 2024 Jan Q4

A Level / Edexcel / S2

IAL 2024 Jan Paper · Question 4

题目

Problem

The continuous random variable GG has probability density function f(g)f(g) given by

f(g)={115(g+3),−1<g⩽2,320,2<g⩽4,0,otherwise.\begin{aligned} &f(g)=\\[1mm] &\begin{cases} \begin{aligned} &\dfrac1{15}(g+3),\\[-1mm] &\quad-1<g\leqslant2, \end{aligned}\\[2mm] \begin{aligned} &\dfrac3{20},\\[-1mm] &\quad2<g\leqslant4, \end{aligned}\\[2mm] \begin{aligned} &0,\\[-1mm] &\quad\text{otherwise}. \end{aligned} \end{cases} \end{aligned}

(a) Sketch the graph of f(g)f(g)

(2)

(b) Find

P(1⩽2G⩽6∣G⩽2)P(1\leqslant2G\leqslant6\mid G\leqslant2)
(4)

The continuous random variable HH is such that E⁡(H)=12\operatorname{E}(H)=12 and Var⁡(H)=2.4\operatorname{Var}(H)=2.4

(c) Find E⁡(2H2+3G+3)\operatorname{E}(2H^2+3G+3)

Show your working clearly.

(Solutions relying on calculator technology are not acceptable.)

(6)

(Total for Question 4 is 12 marks)

题目中文翻译

连续随机变量 GG 的概率密度函数 f(g)f(g) 为

f(g)={115(g+3),−1<g⩽2,320,2<g⩽4,0,其他情况.\begin{aligned} &f(g)=\\[1mm] &\begin{cases} \begin{aligned} &\dfrac1{15}(g+3),\\[-1mm] &\quad-1<g\leqslant2, \end{aligned}\\[2mm] \begin{aligned} &\dfrac3{20},\\[-1mm] &\quad2<g\leqslant4, \end{aligned}\\[2mm] \begin{aligned} &0,\\[-1mm] &\quad\text{其他情况}. \end{aligned} \end{cases} \end{aligned}

(a) 画出 f(g)f(g) 的图像。

(2)

(b) 求

P(1⩽2G⩽6∣G⩽2).P(1\leqslant2G\leqslant6\mid G\leqslant2).
(4)

连续随机变量 HH 满足 E⁡(H)=12\operatorname{E}(H)=12 且 Var⁡(H)=2.4\operatorname{Var}(H)=2.4。

(c) 求 E⁡(2H2+3G+3)\operatorname{E}(2H^2+3G+3)。

清楚地展示你的计算过程。

（依赖计算器技术的解答不可接受。）

(6)

（第 4 题共 12 分）

解答

(a)

解法一

思路

展开

在 −1<g⩽2-1<g\leqslant2 上，密度是斜率为 1/151/15 的上升直线，端点高度分别趋近 2/152/15 和等于 1/31/3；在 2<g⩽42<g\leqslant4 上，密度是高度 3/203/20 的水平线。注意 g=2g=2 处有向下跳跃，两段不能连接，区间外密度为 0，并标清横轴端点及关键高度。

答题过程

展开

For −1<g⩽2-1<g\leqslant2, draw the increasing line segment from the open endpoint (−1,2/15)(-1,2/15) to the closed endpoint (2,1/3)(2,1/3).

For 2<g⩽42<g\leqslant4, draw the horizontal segment f(g)=3/20f(g)=3/20, open at g=2g=2 and closed at g=4g=4. Also show f(g)=0f(g)=0 outside these intervals.

(b)

解法一

思路

展开

先把 1⩽2G⩽61\leqslant2G\leqslant6 化成 0.5⩽G⩽30.5\leqslant G\leqslant3。再结合条件 G⩽2G\leqslant2，分子事件缩成 0.5⩽G⩽20.5\leqslant G\leqslant2。分别对密度积分求分子、分母，再套用条件概率公式。

答题过程

展开

The condition 1⩽2G⩽61\leqslant2G\leqslant6 is equivalent to

0.5⩽G⩽3.0.5\leqslant G\leqslant3.

Also,

 P(G⩽2) =∫−12g+315 dg =[g230+g5]−12 =(430+25) −(130−15) =1630+530 =710.\begin{align*} &\,P(G\leqslant2)\\[2mm] &\,=\int_{-1}^{2}\frac{g+3}{15}\,\mathrm{d}g\\ &\,=\Big[\frac{g^2}{30}+\frac g5\Big]_{-1}^{2}\\[2mm] &\,=\Big(\frac4{30}+\frac25\Big)\\ &\,\hspace{2pt}-\Big(\frac1{30}-\frac15\Big)\\[2mm] &\,=\frac{16}{30}+\frac5{30}\\ &\,=\frac7{10}. \end{align*}

Under the condition G⩽2G\leqslant2, the required numerator is

 P(0.5⩽G⩽2) =∫0.52g+315 dg =[g230+g5]0.52 =815−(1120+110) =64120−13120 =1740.\begin{align*} &\,P(0.5\leqslant G\leqslant2)\\[2mm] &\,=\int_{0.5}^{2}\frac{g+3}{15}\,\mathrm{d}g\\[2mm] &\,=\Big[\frac{g^2}{30}+\frac g5\Big]_{0.5}^{2}\\[2mm] &\,=\frac8{15}-\Big(\frac1{120}+\frac1{10}\Big)\\[2mm] &\,=\frac{64}{120}-\frac{13}{120}\\ &\,=\frac{17}{40}. \end{align*}

Therefore,

 P(1⩽2G⩽6∣G⩽2) =17/407/10 =1728.\begin{align*} &\,P(1\leqslant2G\leqslant6\mid G\leqslant2)\\[2mm] &\,=\frac{17/40}{7/10}\\ &\,=\boxed{\frac{17}{28}}. \end{align*}

解法二

思路

展开

在条件 G⩽2G\leqslant2 下，目标事件的补集是 G<0.5G<0.5。先求 P(G<0.5)P(G<0.5)，除以 P(G⩽2)P(G\leqslant2) 得到条件补事件概率，再从 1 中减去。

答题过程

展开

From Method 1,

P(G⩽2)=710.P(G\leqslant2)=\frac7{10}.

Also,

 P(G<0.5) =∫−10.5g+315 dg =[g230+g5]−10.5 =(1120+110) −(130−15) =13120+20120 =1140.\begin{align*} &\,P(G<0.5)\\[2mm] &\,=\int_{-1}^{0.5}\frac{g+3}{15}\,\mathrm{d}g\\[2mm] &\,=\Big[\frac{g^2}{30}+\frac g5\Big]_{-1}^{0.5}\\[2mm] &\,=\Big(\frac1{120}+\frac1{10}\Big)\\ &\,\hspace{2pt}-\Big(\frac1{30}-\frac15\Big)\\[2mm] &\,=\frac{13}{120}+\frac{20}{120}\\ &\,=\frac{11}{40}. \end{align*}

Hence

 P(1⩽2G⩽6∣G⩽2) =1−11/407/10 =1728.\begin{align*} &\,P(1\leqslant2G\leqslant6\mid G\leqslant2)\\[2mm] &\,=1-\frac{11/40}{7/10}\\ &\,=\boxed{\frac{17}{28}}. \end{align*}

解法三

思路

展开

在 G⩽2G\leqslant2 的范围内，密度曲线下的面积是梯形。分别用梯形面积公式求整个区间与目标区间的面积，再取比值。分母也可以由总面积 1 减去右侧矩形面积得到。

答题过程

展开

The first linear segment has height 2/152/15 at its left end. Also,

f(0.5)= 0.5+315=730,f(2)= 2+315=13.\begin{align*} f(0.5)=&\,\frac{0.5+3}{15}=\frac7{30},\\[2mm] f(2)=&\,\frac{2+3}{15}=\frac13. \end{align*}

Using trapezium areas,

 P(G⩽2) =12⋅3(215+13) =32⋅715 =710.\begin{align*} &\,P(G\leqslant2)\\[2mm] &\,=\frac12\cdot3\Big(\frac2{15}+\frac13\Big)\\[2mm] &\,=\frac32\cdot\frac7{15}\\ &\,=\frac7{10}. \end{align*}

Equivalently, subtracting the right-hand rectangle gives

P(G⩽2)= 1−2⋅320= 710.\begin{align*} P(G\leqslant2)=&\,1-2\cdot\frac3{20}\\[2mm] =&\,\frac7{10}. \end{align*}

Also,

 P(0.5⩽G⩽2) =12⋅1.5(730+13) =34⋅1730 =1740.\begin{align*} &\,P(0.5\leqslant G\leqslant2)\\[2mm] &\,=\frac12\cdot1.5\Big(\frac7{30}+\frac13\Big)\\[2mm] &\,=\frac34\cdot\frac{17}{30}\\ &\,=\frac{17}{40}. \end{align*}

Therefore,

 P(1⩽2G⩽6∣G⩽2) =17/407/10 =1728.\begin{align*} &\,P(1\leqslant2G\leqslant6\mid G\leqslant2)\\[2mm] &\,=\frac{17/40}{7/10}\\[2mm] &\,=\boxed{\frac{17}{28}}. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

先利用方差公式，由已知均值与方差求出 E⁡(H2)\operatorname{E}(H^2)。再按 GG 的分段密度积分求 E⁡(G)\operatorname{E}(G)。最后使用期望的线性性质；这里不需要假设 HH 与 GG 独立。

答题过程

展开

Using

 Var⁡(H) =E⁡(H2)−[E⁡(H)]2,\begin{align*} &\,\operatorname{Var}(H)\\[2mm] &\,=\operatorname{E}(H^2)-[\operatorname{E}(H)]^2, \end{align*}

we have

 E⁡(H2) =2.4+122 =146.4.\begin{align*} &\,\operatorname{E}(H^2)\\[2mm] &\,=2.4+12^2\\ &\,=146.4. \end{align*}

Also,

 E⁡(G) =∫−12g(g+315) dg +∫24g(320) dg =115[g33+3g22]−12 +340[g2]24.\begin{align*} &\,\operatorname{E}(G)\\[2mm] &\,=\int_{-1}^{2}g\Big(\frac{g+3}{15}\Big)\,\mathrm{d}g\\ &\,\hspace{2pt}+\int_{2}^{4}g\Big(\frac3{20}\Big)\,\mathrm{d}g\\[2mm] &\,=\frac1{15}\Big[\frac{g^3}{3}+\frac{3g^2}{2}\Big]_{-1}^{2}\\ &\,\hspace{2pt}+\frac3{40}\Big[g^2\Big]_{2}^{4}. \end{align*}

The first contribution is

 115[g33+3g22]−12 =115[(83+6) −(−13+32)] =115(263−76) =115⋅456 =0.5.\begin{align*} &\,\frac1{15}\Big[\frac{g^3}{3}+\frac{3g^2}{2}\Big]_{-1}^{2}\\[2mm] &\,=\frac1{15}\Big[\Big(\frac83+6\Big)\\ &\,\hspace{2pt}-\Big(-\frac13+\frac32\Big)\Big]\\[2mm] &\,=\frac1{15}\Big(\frac{26}{3}-\frac76\Big)\\[2mm] &\,=\frac1{15}\cdot\frac{45}{6}\\ &\,=0.5. \end{align*}

The second contribution is

340(42−22)= 340(16−4)= 0.9.\begin{align*} \frac3{40}(4^2-2^2)=&\,\frac3{40}(16-4)\\ =&\,0.9. \end{align*}

Thus

E⁡(G)=0.5+0.9=1.4.\operatorname{E}(G)=0.5+0.9=1.4.

By linearity of expectation,

 E⁡(2H2+3G+3) =2E⁡(H2) +3E⁡(G)+3 =2(146.4)+3(1.4)+3 =300.\begin{align*} &\,\operatorname{E}(2H^2+3G+3)\\[2mm] &\,=2\operatorname{E}(H^2)\\ &\,\hspace{2pt}+3\operatorname{E}(G)+3\\ &\,=2(146.4)+3(1.4)+3\\ &\,=\boxed{300}. \end{align*}