随机变量 $W$ 在区间 $[-6,a]$ 上服从连续均匀分布，其中 $a$ 是常数。

已知 $\operatorname{Var}(W)=27$。

(a) 证明 $a=12$。

已知 $P(W>b)=\dfrac35$。

(b) (i) 求 $b$ 的值。

(ii) 求 $P\Big(-12<W<\dfrac b2\Big)$。

一块木板 $AB$ 的长度为 160 厘米。将木板随机切成 2 块，然后将每块切成两半。这四块木板用来组成一个矩形的四条边。

(c) 计算该矩形面积大于 $975\text{ 厘米}^2$ 的概率。

（第 5 题共 10 分）

连续均匀分布 $\operatorname{U}[l,u]$ 的方差为 $(u-l)^2/12$。这里区间长度是 $a+6$；由定义必须有 $a>-6$，因此开平方时只取正的区间长度。

For a continuous uniform distribution,

Therefore,

Since $a>-6$, the interval length $a+6$ is positive. Hence

由 (a)，$W$ 在 $[-6,12]$ 上均匀分布，区间总长为 18。事件 $W>b$ 对应长度 $12-b$；令长度之比等于 $3/5$，即可求出 $b$。

Since $W\sim\operatorname{U}[-6,12]$,

$b/2=0.6$。虽然事件写成 $-12<W<0.6$，但 $W$ 的下界是 $-6$，所以有效区间实际为 $(-6,0.6)$；用其长度除以总区间长度 18。

From part (b)(i),

Since $W$ cannot be less than $-6$,

设随机切点到 $A$ 的距离为 $x$，则两段木料长为 $x$ 与 $160-x$；各自再对半后，矩形边长为 $x/2$ 与 $(160-x)/2$。先解面积等于 975 的边界，再利用面积二次函数在两根之间大于 975。切点在整段木料上均匀分布，所以所求概率是有利切点区间长度与 160 的比。

Let $C$ be the random cut point and let $AC=x$. The two side lengths of the rectangle are

At the boundary where the area is $975\text{ cm}^2$,

The area is greater than $975\text{ cm}^2$ when

Since the cut point is uniformly distributed along the 160 cm length,

也可以直接把其中一条矩形边记为 $L=x/2$。因为矩形周长是 160，所以相邻两边满足 $L+W=80$，面积为 $L(80-L)$；而 $L$ 在 $[0,80]$ 上均匀分布。求出面积为 975 时的两个边界长度，再取中间区间的长度比。

Let one side length be $L$. Then the adjacent side has length $80-L$, and $L$ is uniformly distributed over $[0,80]$.

At the boundary,

Thus the area is greater than $975\text{ cm}^2$ when $15<L<65$. Therefore,