CalcGospel 國際數學圖譜
返回

S2 2024 Jan Q7

A Level / Edexcel / S2

IAL 2024 Jan Paper · Question 7

题目

Problem

A continuous random variable XX has cumulative distribution function F(x)F(x) given by

F(x)={0,x<1,k(ax+bx3−x4−4),1⩽x⩽2,1,x>2.\begin{aligned} &F(x)=\\[1mm] &\begin{cases} \begin{aligned} &0,\\[-1mm] &\quad x<1, \end{aligned}\\[2mm] \begin{aligned} &k\big(ax+bx^3\\ &\quad-x^4-4\big),\\[1mm] &\quad1\leqslant x\leqslant2, \end{aligned}\\[2mm] \begin{aligned} &1,\\[-1mm] &\quad x>2. \end{aligned} \end{cases} \end{aligned}

where aa, bb and kk are non-zero constants.

Given that the mode of XX is 1.5

(a) show that b=3b=3

(3)

(b) Hence show that a=2a=2

(1)

(c) Show that the median of XX lies between 1.4 and 1.5

(4)

(Total for Question 7 is 8 marks)

题目中文翻译

连续随机变量 XX 的累积分布函数 F(x)F(x) 为

F(x)={0,x<1,k(ax+bx3−x4−4),1⩽x⩽2,1,x>2.\begin{aligned} &F(x)=\\[1mm] &\begin{cases} \begin{aligned} &0,\\[-1mm] &\quad x<1, \end{aligned}\\[2mm] \begin{aligned} &k\big(ax+bx^3\\ &\quad-x^4-4\big),\\[1mm] &\quad1\leqslant x\leqslant2, \end{aligned}\\[2mm] \begin{aligned} &1,\\[-1mm] &\quad x>2. \end{aligned} \end{cases} \end{aligned}

其中 aa、bb 和 kk 是非零常数。

已知 XX 的众数为 1.5。

(a) 证明 b=3b=3。

(3)

(b) 由此证明 a=2a=2。

(1)

(c) 证明 XX 的中位数在 1.4 和 1.5 之间。

(4)

（第 7 题共 8 分）

解答

(a)

解法一

思路

展开

先对累积分布函数求导得到概率密度函数，再对密度函数求导。众数 1.51.5 是密度函数的极大值位置，因此在该处令密度函数的导数为 0，即可解出 bb。

答题过程

展开

For 1<x<21<x<2, the probability density function is

 f(x)=F′(x) =k(a+3bx2−4x3).\begin{align*} &\,f(x)=F'(x)\\ &\,=k(a+3bx^2-4x^3). \end{align*}

Therefore,

f′(x)=k(6bx−12x2).f'(x)=k(6bx-12x^2).

Since the mode is x=1.5x=1.5, the density has a stationary point there. Since k≠0k\ne0,

 k[6b(1.5)−12(1.5)2]=0, 6b(1.5)−12(1.5)2=0, 9b−27=0, b=3,\begin{align*} &\,k\big[6b(1.5)-12(1.5)^2\big]=0,\\[2mm] &\,6b(1.5)-12(1.5)^2=0,\\[2mm] &\,9b-27=0,\\ &\,b=3, \end{align*}

as required.

(b)

解法一

思路

展开

连续随机变量的累积分布函数连续。由于 x<1x<1 时 F(x)=0F(x)=0，所以必须有 F(1)=0F(1)=0。把 (a) 得到的 b=3b=3 代入这个边界条件，便可由此推出 a=2a=2。

答题过程

展开

Since XX is continuous and F(x)=0F(x)=0 for x<1x<1,

F(1)=0.F(1)=0.

Using b=3b=3 from part (a),

 k(a+3−1−4)=0, a−2=0.\begin{align*} &\,k(a+3-1-4)=0,\\ &\,a-2=0. \end{align*}

As k≠0k\ne0,

a=2.\boxed{a=2}.

(c)

解法一

思路

展开

先利用右端边界条件 F(2)=1F(2)=1 求出 kk。中位数 mm 满足 F(m)=0.5F(m)=0.5；分别计算 F(1.4)F(1.4) 与 F(1.5)F(1.5)，若前者小于 0.5 而后者大于 0.5，再利用累积分布函数单调不减即可夹出中位数的位置。

答题过程

展开

Since F(2)=1F(2)=1,

 k[2(2)+3(23) −24−4]=1, k(4+24−16−4)=1, 8k=1,\begin{align*} &\,k\big[2(2)+3(2^3)\\ &\,\hspace{2pt}-2^4-4\big]=1,\\[2mm] &\,k(4+24-16-4)=1,\\ &\,8k=1, \end{align*}

so k=18k=\dfrac18. Thus, for 1⩽x⩽21\leqslant x\leqslant2,

 F(x) =18(2x+3x3−x4−4).\begin{align*} &\,F(x)\\[2mm] &\,=\frac18(2x+3x^3-x^4-4). \end{align*}

Now

 F(1.4) =18[2(1.4)+3(1.4)3 −(1.4)4−4] =3.19048 =0.3988, F(1.5) =18[2(1.5)+3(1.5)3 −(1.5)4−4] =4.06258 =0.5078125.\begin{align*} &\,F(1.4)\\[2mm] &\,=\frac18\big[2(1.4)+3(1.4)^3\\ &\,\hspace{2pt}-(1.4)^4-4\big]\\[2mm] &\,=\frac{3.1904}{8}\\ &\,=0.3988,\\[3mm] &\,F(1.5)\\[2mm] &\,=\frac18\big[2(1.5)+3(1.5)^3\\ &\,\hspace{2pt}-(1.5)^4-4\big]\\[2mm] &\,=\frac{4.0625}{8}\\ &\,=0.5078125. \end{align*}

Therefore,

F(1.4)<0.5<F(1.5).F(1.4)<0.5<F(1.5).

Since a cumulative distribution function is non-decreasing, the median mm, for which F(m)=0.5F(m)=0.5, satisfies

1.4<m<1.5.\boxed{1.4<m<1.5}.

解法二

思路

展开

也可以直接令 F(x)=0.5F(x)=0.5，数值求出中位数。所得方程还有定义域外或非实数的根，因此必须只保留累积分布函数有效区间 1⩽x⩽21\leqslant x\leqslant2 内的实根，再与 1.4、1.5 比较。

答题过程

展开

Setting F(x)=0.5F(x)=0.5 gives

18(2x+3x3−x4−4)=12,\frac18(2x+3x^3-x^4-4)=\frac12,

so

−x4+3x3+2x−8=0.-x^4+3x^3+2x-8=0.

Solving numerically, the only real root in the interval 1⩽x⩽21\leqslant x\leqslant2 is

x=1.492857…x=1.492857\ldots

Hence

1.4<1.492857…<1.5,\boxed{1.4<1.492857\ldots<1.5},

so the median lies between 1.4 and 1.5.