连续随机变量 $X$ 的累积分布函数 $F(x)$ 为

其中 $a$、$b$ 和 $k$ 是非零常数。

已知 $X$ 的众数为 1.5。

(a) 证明 $b=3$。

(b) 由此证明 $a=2$。

(c) 证明 $X$ 的中位数在 1.4 和 1.5 之间。

（第 7 题共 8 分）

先对累积分布函数求导得到概率密度函数，再对密度函数求导。众数 $1.5$ 是密度函数的极大值位置，因此在该处令密度函数的导数为 0，即可解出 $b$。

For $1<x<2$, the probability density function is

Therefore,

Since the mode is $x=1.5$, the density has a stationary point there. Hence

as required.

连续随机变量的累积分布函数连续。由于 $x<1$ 时 $F(x)=0$，所以必须有 $F(1)=0$。把 (a) 得到的 $b=3$ 代入这个边界条件，便可由此推出 $a=2$。

Since $X$ is continuous and $F(x)=0$ for $x<1$,

Using $b=3$ from part (a),

As $k\ne0$,

先利用右端边界条件 $F(2)=1$ 求出 $k$。中位数 $m$ 满足 $F(m)=0.5$；分别计算 $F(1.4)$ 与 $F(1.5)$，若前者小于 0.5 而后者大于 0.5，再利用累积分布函数单调不减即可夹出中位数的位置。

Since $F(2)=1$,

so $k=\dfrac18$. Thus, for $1\leqslant x\leqslant2$,

Now

Therefore,

Since a cumulative distribution function is non-decreasing, the median $m$, for which $F(m)=0.5$, satisfies

也可以直接令 $F(x)=0.5$，数值求出中位数。所得方程还有定义域外或非实数的根，因此必须只保留累积分布函数有效区间 $1\leqslant x\leqslant2$ 内的实根，再与 1.4、1.5 比较。

Setting $F(x)=0.5$ gives

so

Solving numerically, the only real root in the interval $1\leqslant x\leqslant2$ is

Hence

so the median lies between 1.4 and 1.5.