题目

Problem

The continuous random variable $H$ has cumulative distribution function $F(h)$ where

F(h)= \begin{cases} 0, & h\leqslant0,\\ \dfrac{h^2}{48}, & 0<h\leqslant4,\\ \dfrac{h}{6}-\dfrac13, & 4<h\leqslant5,\\ \dfrac{3h}{10}-\dfrac{h^2}{75}-\dfrac23, & 5<h\leqslant d,\\ 1, & h>d, \end{cases}

where $d$ is a constant.

(a) Show that $2d^2-45d+250=0$

(2)

(b) Find $P(H<1.5\mid 1<H<4.5)$

(4)

You may leave the limits of $h$ in terms of $d$ where necessary.

(3)

(Total for Question 2 is 9 marks)

题目中文翻译

连续随机变量 $H$ 的累积分布函数为 $F(h)$ ，其中

F(h)= \begin{cases} 0, & h\leqslant0,\\ \dfrac{h^2}{48}, & 0<h\leqslant4,\\ \dfrac{h}{6}-\dfrac13, & 4<h\leqslant5,\\ \dfrac{3h}{10}-\dfrac{h^2}{75}-\dfrac23, & 5<h\leqslant d,\\ 1, & h>d, \end{cases}

其中 $d$ 是常数。

(a) 证明 $2d^2-45d+250=0$ 。

(b) 求 $P(H<1.5\mid 1<H<4.5)$ 。

如有必要，你可以将 $h$ 的界限用 $d$ 表示。

（第 2 题共 9 分）

解答

(a)

解法一

思路

展开

累积分布函数在定义域右端必须达到 1，因此令第三段表达式在 $h=d$ 时等于 1。清除分母并整理，即可自然得到题目要求的二次方程。

答题过程

展开

Since $F(d)=1$ ,

\frac{3d}{10}-\frac{d^2}{75}-\frac23=1.

Multiplying by 150 gives

\begin{align*} 45d-2d^2-100=&\,150,\\ 2d^2-45d+250=&\,0, \end{align*}

as required.

(b)

解法一

思路

展开

在条件 $1<H<4.5$ 下，事件 $H<1.5$ 实际变成 $1<H<1.5$ 。分别用累积分布函数之差求分子与分母，再按条件概率公式相除。

答题过程

展开

First,

\begin{align*} P(1<H<4.5)=&\,F(4.5)-F(1)\\ =&\,\left(\frac{4.5}{6}-\frac13\right) -\frac1{48}\\ =&\,\frac{19}{48}. \end{align*}

Also,

\begin{align*} P(1<H<1.5)=&\,F(1.5)-F(1)\\ =&\,\frac{1.5^2}{48}-\frac1{48}\\ =&\,\frac5{192}. \end{align*}

Therefore,

\begin{align*} P(H<1.5\mid 1<H<4.5) =&\,\frac{5/192}{19/48}\\ =&\,\boxed{\frac5{76}}\\ =&\,0.0658\quad\text{(3 s.f.)}. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

概率密度函数是累积分布函数在各段内部的导数。逐段求导，常数段的导数为 0，并保留与原累积分布函数对应的区间。

答题过程

展开

Differentiating each non-constant part of $F(h)$ gives

\boxed{ f(h)= \begin{cases} \dfrac{h}{24}, & 0<h\leqslant4,\\ \dfrac16, & 4<h\leqslant5,\\ \dfrac3{10}-\dfrac{2h}{75}, & 5<h\leqslant d,\\ 0, & \text{otherwise}. \end{cases}}

IAL 2024 Jun S2 Q2

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程