简拥有一大批商店。她决定随机抽取一些商店作为样本，检查库存系统是否被错误使用。

(a) 建议简使用的一个合适的抽样框架。

(b) 识别抽样单位。

(c) 给出抽样调查而非普查的一个优点和一个缺点。

简认为 40% 的商店中库存系统被错误使用。

为了调查她的假设，随机抽取了 30 家商店作为样本。

(d) 在 5% 的显著性水平下，求简的假设的双尾检验的临界区域。

你应说明每个尾部的概率，每个尾部的概率应尽可能接近 2.5%

在 30 家商店的样本中，库存系统被错误使用的商店总数为 20

(e) 使用 (d) 中的临界区域，说明这对简的假设意味着什么。给出你答案的理由。

简向所有商店引入了一个新的、更简单的库存系统。

她随机抽取了 150 家商店作为样本，发现其中 47 家商店的新库存系统被错误使用。

(f) 使用合适的近似方法，在 5% 的显著性水平下，检验是否有证据表明库存系统被错误使用的商店比例现在低于 0.4

你应清楚地陈述你的假设并展示你的计算过程。

（第 3 题共 15 分）

抽样框必须能够列出总体中的每一个抽样单位。本题总体是 Jian 所拥有的全部商店，因此应使用完整商店名录。

A suitable sampling frame is a complete list or database of all the shops owned by Jian.

抽样单位是实际被抽取并接受检查的个体；这里抽取的是商店，而不是库存系统或商店数量。

The sampling units are the individual shops.

与普查相比，样本只调查总体的一部分，所以通常更快、更便宜；但由于没有覆盖全部商店，结果可能不够准确或不具代表性。各给出一点即可。

An advantage is that taking a sample is quicker and cheaper than carrying out a census.

A disadvantage is that the sample may not be representative of all the shops, so the result may be less accurate.

在 Jian 的看法成立时，错误使用系统的商店数服从 $\operatorname{B}(30,0.4)$。双尾检验把约 $2.5\%$ 放在每一尾；分别寻找不超过 $2.5\%$、且最接近它的下尾与上尾累积概率，再写出对应临界区域。

Let $X$ be the number of shops in which the system is used incorrectly. Under Jian’s belief,

For the lower tail,

For the upper tail,

Both tail probabilities are below and as close as possible to $0.025$. Hence the critical region is

把观测值 20 与 (d) 的临界区域比较。由于 20 落在上尾临界区域，应拒绝比例为 $0.4$ 的看法。

Since $20\geqslant18$, the observed value lies in the critical region. Therefore, there is evidence that Jian’s belief that the proportion is $0.4$ is incorrect.

这是总体比例是否下降的单尾检验。先写出关于总体比例 $p$ 的假设；在原假设下，二项分布的均值和方差分别为 60 与 36，且成功、失败的期望次数都足够大，所以可使用正态近似。对观测事件 $J\leqslant47$ 使用连续性修正得到 $Y<47.5$，求下尾概率并与 $5\%$ 比较，最后用题目语境下结论。

Let $p$ be the proportion of shops in which the new stocktaking system is used incorrectly.

Under $H_0$,

Since

a normal approximation is suitable. Thus

Using a continuity correction,

Since $0.0186<0.05$, reject $H_0$. There is sufficient evidence, at the $5\%$ significance level, that the proportion of shops in which the new stocktaking system is used incorrectly is now less than $0.4$.