在本题中，完全依赖计算器技术的解答不可接受。

连续随机变量 $X$ 具有以下概率密度函数

其中 $a$ 和 $b$ 是常数。

(a) 证明 $4a+4b=1$。

已知 $\operatorname{E}(X^2)=\dfrac{17}{5}$。

(b) (i) 求一个仅含 $a$ 的方程。

(ii) 由此证明 $b=0.1$。

(c) 画出 $X$ 的概率密度函数 $f(x)$ 的图像。

(d) 求满足 $P(X\geqslant k)=0.8$ 的 $k$ 值。

（第 6 题共 16 分）

概率密度函数在整个定义域上的积分等于 1。把 $a+bx$ 从 $-1$ 积分到 3，化简所得方程即可。

Since the total area under a probability density function is 1,

$f(x)=a+bx$ 在区间 $[-1,3]$ 上是一条直线，图像下方是一个宽为 4、两条平行边分别为 $a-b$ 与 $a+3b$ 的梯形。令梯形面积等于 1。

The area under the line segment is a trapezium of width 4, with parallel sides $a-b$ and $a+3b$. Therefore,

利用连续随机变量的二阶矩公式，把已知的 $\operatorname{E}(X^2)$ 写成积分。再由 (a) 将 $b$ 表示成 $a$，代入后便得到仅含 $a$ 的方程；本小问无须提前解出 $a$。

Using $\operatorname{E}(X^2)=\dfrac{17}{5}$,

From part (a),

Hence an equation in terms of $a$ only is

先解 (b)(i) 的方程求出 $a$，再代回 (a) 的关系式 $4a+4b=1$ 求 $b$。

From part (b)(i),

Using $4a+4b=1$,

由 (b) 得 $f(x)=0.15+0.1x$。求出区间两个端点的函数值，在 $-1\leqslant x\leqslant3$ 上连接成线段；区间外密度为 0，并清楚标出端点及截距。

For $-1\leqslant x\leqslant3$,

The key points are

Therefore the graph is the straight line segment from $(-1,0.05)$ to $(3,0.45)$, with $f(x)=0$ outside this interval.

把右尾概率 $P(X\geqslant k)=0.8$ 改写为左侧累积概率 $P(X\leqslant k)=0.2$，从定义域左端 $-1$ 积分到 $k$。用求根公式解所得二次方程后，只保留位于定义域 $[-1,3]$ 内的根。

Since $P(X\geqslant k)=0.8$,

Therefore,

Using the quadratic formula,

Thus the two roots are

Since $-1\leqslant k\leqslant3$, the second root is invalid. Hence

从 $x=k$ 到 $x=3$ 的图像下方面积就是 0.8。这部分是梯形，宽为 $3-k$，两条平行边分别为 $f(k)$ 与 $f(3)$；令梯形面积等于 0.8，用求根公式求解，再筛选定义域内的根。

The area from $x=k$ to $x=3$ is a trapezium. Thus

Using the quadratic formula,

The root $(-3-\sqrt{17})/2$ is less than $-1$, so it is outside the support. The valid root is

Hence