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IAL 2024 Oct S2 Q2

A Level / Edexcel / S2

IAL 2024 Oct Paper · Question 2

题目

Problem

A multiple-choice test consists of 25 questions, each having 5 responses, only one of which is correct.

Each correct answer gains 4 marks but each incorrect answer loses 1 mark.

Sam answers all 25 questions by choosing at random one response for each question.

Let XX be the number of correct answers that Sam achieves.

(a) State the distribution of XX

(1)

Let MM be the number of marks that Sam achieves.

(b) (i) State the distribution of MM in terms of XX

(ii) Hence, show clearly that the number of marks that Sam is expected to achieve is zero.

(4)

In order to pass the test at least 30 marks are required.

(c) Find the probability that Sam will pass the test.

(3)

Past records show that when the test is done properly, the probability that a student answers the first question correctly is 0.5

A random sample of 50 students that did the test properly was taken.

Given that the probability that more than nn but at most 30 students answered the first question correctly was 0.9328 to 4 decimal places,

(d) find the value of nn

(4)

(Total for Question 2 is 12 marks)

题目中文翻译

一项多项选择测试包含 25 道题，每题有 5 个选项，只有 1 个正确。

每答对一题得 4 分，每答错一题扣 1 分。

Sam 为每道题随机选择一个选项来回答所有 25 道题。

令 XX 为 Sam 答对的题数。

(a) 说明 XX 的分布。

令 MM 为 Sam 获得的分数。

(b) (i) 用 XX 表示 MM 的分布。 (ii) 由此清楚地证明 Sam 预期获得的分数为零。

为了通过测试，至少需要 30 分。

(c) 求 Sam 通过测试的概率。

过往记录显示，当测试正常进行时，学生答对第一题的概率为 0.5。

随机抽取了 50 名正常参加测试的学生样本。

已知答对第一题的学生人数超过 nn 但不超过 30 的概率为 0.9328（精确到 4 位小数），

(d) 求 nn 的值。

（第 2 题共 12 分）

解答

(a)

解法一

思路

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每题有固定的“答对”或“答错”两种结果，25 题相互独立，随机猜中每题的概率恒为 1/51/5，因此答对题数服从二项分布。

答题过程

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Since each response is chosen independently and the probability of a correct answer is 1/51/5,

X∼B⁡(25,15).\boxed{X\sim\operatorname{B}\left(25,\frac15\right)}.

(b)(i)

解法一

思路

展开

Sam 答对 XX 题，就答错 25−X25-X 题。每道正确答案得 4 分，每道错误答案扣 1 分，因此总分等于正确答案得分减去错误答案扣分。

答题过程

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The number of incorrect answers is 25−X25-X. Hence

M= 4X−(25−X)= 5X−25.\begin{align*} M=&\,4X-(25-X)\\ =&\,\boxed{5X-25}. \end{align*}

(b)(ii)

解法一

思路

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承接 (b)(i) 的线性关系，使用期望的线性性质。先由二项分布求 E(X)=np=5E(X)=np=5，再代入 E(M)=5E(X)−25E(M)=5E(X)-25，即可自然得到题目指定的零分。

答题过程

展开

From part (a),

E(X)=np=25(15)=5.E(X)=np=25\left(\frac15\right)=5.

Using the result from part (b)(i),

E(M)= E(5X−25)= 5E(X)−25= 5(5)−25= 0.\begin{align*} E(M)=&\,E(5X-25)\\ =&\,5E(X)-25\\ =&\,5(5)-25\\ =&\,\boxed{0}. \end{align*}

Therefore, Sam’s expected number of marks is zero.

(c)

解法一

思路

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通过测试要求总分至少为 30。把 M≥30M\geq30 代入 (b)(i) 的 M=5X−25M=5X-25，先转化为答对题数 XX 的下限，再用二项分布计算上尾概率。

答题过程

展开

Sam passes if

M≥30  ⟹   5X−25≥30  ⟹   X≥11.\begin{align*} M\geq30 \implies&\,5X-25\geq30\\ \implies&\,X\geq11. \end{align*}

Therefore, using X∼B⁡(25,1/5)X\sim\operatorname{B}(25,1/5),

P(pass)= P(X≥11)= 1−P(X≤10)= 1−0.994445…= 0.00555…≈ 0.0056.\begin{align*} P(\text{pass})=&\,P(X\geq11)\\ =&\,1-P(X\leq10)\\ =&\,1-0.994445\ldots\\ =&\,\boxed{0.00555\ldots}\\ \approx&\,\boxed{0.0056}. \end{align*}

(d)

解法一

思路

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令 YY 为 50 名学生中答对第一题的人数，则 Y∼B(50,0.5)Y\sim B(50,0.5)。把“超过 nn 但不超过 30”写成两个累积概率之差，再由给出的概率反推出 P(Y≤n)P(Y\leq n)，最后查二项分布累积概率确定整数 nn。

答题过程

展开

Let YY be the number of students who answered the first question correctly. Then

Y∼B⁡(50,0.5).Y\sim\operatorname{B}(50,0.5).

The given information gives

P(n<Y≤30)= P(Y≤30)−P(Y≤n)0.9328= 0.9405−P(Y≤n)P(Y≤n)= 0.0077.\begin{align*} P(n<Y\leq30)=&\,P(Y\leq30)-P(Y\leq n)\\ 0.9328=&\,0.9405-P(Y\leq n)\\ P(Y\leq n)=&\,0.0077. \end{align*}

From the binomial cumulative probabilities,

P(Y≤16)=0.00767…≈0.0077.P(Y\leq16)=0.00767\ldots\approx0.0077.

Therefore,

n=16.\boxed{n=16}.