在周一下午，已知顾客以每 10 分钟 7 人的平均速率进入某商店。

(a) 建议一个合适的分布来建模周一下午 10 分钟内进入该商店的顾客数量。

(b) 说明此分布成为该情况合适模型所需的两个假设。

一位新店经理想了解自上任以来顾客速率是否发生了变化。

(c) 写出经理应使用的合适原假设和备择假设。

经理决定在下周一下午随机选择一个 10 分钟时间段监控进入商店的顾客数量。

(d) 使用 3% 的显著性水平，求检验顾客速率是否发生变化的临界区域。

(e) 根据你在 (d) 中的临界区域，求此检验的实际显著性水平。

在那个周一下午的随机 10 分钟内，有 12 名顾客进入了商店。

(f) 使用 (d) 中的临界区域评论此发现。

（第 3 题共 11 分）

题目统计固定 10 分钟内进入商店的顾客人数，并给出该时段平均数为 7，因此可使用均值参数为 7 的泊松分布。

Let $X$ be the number of customers entering the shop in 10 minutes. A suitable model is

泊松模型要求事件在固定时间内以恒定平均速率发生，而且各次事件相互独立。回答时需要把假设放回顾客进入商店的语境。

Two necessary assumptions are that

• customers enter the shop independently of one another;
• customers enter the shop at a constant average rate during Monday afternoons.

令 $\lambda$ 表示每 10 分钟进入商店的平均顾客数。原假设采用原来的平均数 7；经理想检验速率是否“发生变化”，可能增加也可能减少，因此使用双尾备择假设。

Let $\lambda$ be the mean number of customers entering the shop in a 10-minute interval. The hypotheses are

这是 3% 显著性水平的双尾检验，因此分别在泊松分布的上下尾寻找概率不超过约 1.5% 的最外侧整数区域。检查相邻边界，确保再纳入一个整数后对应尾概率会超过 1.5%。

Under $H_0$, $X\sim\operatorname{Po}(7)$. For the lower tail,

but

For the upper tail,

but

Therefore, the critical region is

实际显著性水平是原假设成立时落入临界区域的总概率。临界区域位于两个互不重叠的尾部，因此把 (d) 的两个尾概率相加并化为百分数。

The actual significance level is

Therefore, the actual significance level is

把观测值 12 与 (d) 的临界区域直接比较。12 不在任一尾部临界区域内，所以不能拒绝原假设；结论必须针对顾客进入商店的“速率”是否改变。

The observed value is 12, which is not in the critical region $X\leq1$ or $X\geq14$. Therefore, $H_0$ is not rejected.

There is insufficient evidence, at the 3% significance level, to conclude that the rate at which customers enter the shop has changed.