(i) 连续随机变量 $X$ 在区间 $[a, b]$ 上均匀分布。

已知

• $P(X > 27) = \dfrac{3}{4}$
• $\text{Var}(X) = 300$

(a) 求 $a$ 的值和 $b$ 的值。

又已知

$4 \times P(X < k - 10) = P(X > k + 20)$

(b) 求 $k$ 的值。

(ii) 一根长度为 42 cm 的铁丝在随机点处被剪成两段。

每段铁丝被弯成正方形的轮廓。

求较大正方形的边长减去较小正方形的边长大于 2 cm 的概率。

（第 4 题共 9 分）

均匀分布在子区间上的概率等于子区间长度与总区间长度之比，因此可把 $P(X>27)=3/4$ 写成关于 $a,b$ 的方程。再用均匀分布的方差公式得到区间长度 $b-a$，联立即可求出两个端点。

Since $X\sim U(a,b)$,

Also,

As $b>a$, it follows that

Therefore,

and hence $a=72-60=12$. Thus

承接 (a) 的支撑区间 $[12,72]$，把左右两个概率分别写成相应区间长度除以 60。解方程后还要确认两个界点 $k-10$ 与 $k+20$ 都落在支撑区间内。

Using $a=12$ and $b=72$ from part (a),

and

Substituting these into the given relation and multiplying by 60 gives

Indeed, $k-10=18$ and $k+20=48$ both lie in $[12,72]$.

令 $L$ 为较长一段铁丝的长度，则 $21\leq L\leq42$，且 $L$ 在该区间上均匀分布；较短一段长 $42-L$。两个正方形的边长分别为两段铁丝长度除以 4。先解边长差大于 2 的不等式，再用均匀分布的区间长度比求概率。

Let $L$ be the length of the longer piece. Then

The required condition is

Therefore,

也可令 $C$ 为从铁丝一端量起的随机切点，则 $C\sim U(0,42)$，两段长度为 $C$ 与 $42-C$。分两种情况解两段对应正方形边长之差的绝对值大于 2，再把两端区间的概率相加。

Let $C\sim U(0,42)$ be the distance of the cut from one end. The condition is

Thus

which gives

Therefore,

还可直接令 $S$ 为较大正方形的边长。较长铁丝长度在 $[21,42]$ 上均匀分布，除以 4 后有 $S\sim U(5.25,10.5)$；较小正方形边长为 $10.5-S$。

Let $S$ be the side length of the larger square. Then

The side length of the smaller square is $10.5-S$, so

Hence