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IAL 2024 Oct S2 Q5

A Level / Edexcel / S2

IAL 2024 Oct Paper · Question 5

题目

Problem

The continuous random variable XX has a probability density function given by

f(x)={14(3−x)1⩽x⩽2142<x⩽314(x−2)3<x⩽40otherwisef(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{4}(3 - x) & 1 \leqslant x \leqslant 2 \\[6pt] \dfrac{1}{4} & 2 < x \leqslant 3 \\[6pt] \dfrac{1}{4}(x - 2) & 3 < x \leqslant 4 \\[6pt] 0 & \text{otherwise} \end{cases}

The cumulative distribution function of XX is F(x)F(x).

(a) Show that F(x)=14(−x22+3x)−58F(x) = \dfrac{1}{4}\left(-\dfrac{x^2}{2} + 3x\right) - \dfrac{5}{8} for 1⩽x⩽21 \leqslant x \leqslant 2

(2)

(b) Find F(x)F(x) for all values of xx

(5)

(c) Find P(1.2<X<3.1)P(1.2 < X < 3.1)

(2)

(Total for Question 5 is 9 marks)

题目中文翻译

连续随机变量 XX 的概率密度函数为

f(x)={14(3−x)1⩽x⩽2142<x⩽314(x−2)3<x⩽40otherwisef(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{4}(3 - x) & 1 \leqslant x \leqslant 2 \\[6pt] \dfrac{1}{4} & 2 < x \leqslant 3 \\[6pt] \dfrac{1}{4}(x - 2) & 3 < x \leqslant 4 \\[6pt] 0 & \text{otherwise} \end{cases}

XX 的累积分布函数为 F(x)F(x)。

(a) 证明对于 1⩽x⩽21 \leqslant x \leqslant 2，F(x)=14(−x22+3x)−58F(x) = \dfrac{1}{4}\left(-\dfrac{x^2}{2} + 3x\right) - \dfrac{5}{8}

(b) 求对所有 xx 值的 F(x)F(x)。

(c) 求 P(1.2<X<3.1)P(1.2 < X < 3.1)。

（第 5 题共 9 分）

解答

(a)

解法一

思路

展开

当 1≤x≤21\leq x\leq2 时，累积分布函数等于从支撑区间左端点 1 到 xx 的概率密度积分。完整代入下限后整理常数项，即可自然得到题目指定的形式。

答题过程

展开

For 1≤x≤21\leq x\leq2,

F(x)= ∫1x14(3−t) dt= 14[3t−t22]1x= 14(3x−x22)−14(3−12)= 14(−x22+3x)−58.\begin{align*} F(x)=&\,\int_1^x\frac14(3-t)\,\mathrm{d}t\\ =&\,\frac14\left[3t-\frac{t^2}{2}\right]_1^x\\ =&\,\frac14\left(3x-\frac{x^2}{2}\right) -\frac14\left(3-\frac12\right)\\ =&\,\boxed{ \frac14\left(-\frac{x^2}{2}+3x\right)-\frac58 }. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

在每一段上，从该段左端点继续累加概率，并承接前一端点的 CDF 值。先由 (a) 得 F(2)=3/8F(2)=3/8，再求中间常密度区间；由此得到 F(3)=5/8F(3)=5/8，最后积分第三段。支撑区间外分别为 0 和 1。

答题过程

展开

From part (a),

F(2)=38.F(2)=\frac38.

For 2<x≤32<x\leq3,

F(x)= F(2)+∫2x14 dt= 38+x−24= 2x−18.\begin{align*} F(x)=&\,F(2)+\int_2^x\frac14\,\mathrm{d}t\\ =&\,\frac38+\frac{x-2}{4}\\ =&\,\frac{2x-1}{8}. \end{align*}

Hence F(3)=5/8F(3)=5/8. For 3<x≤43<x\leq4,

F(x)= F(3)+∫3x14(t−2) dt= 58+14[t22−2t]3x= 14(x22−2x)+1.\begin{align*} F(x)=&\,F(3)+\int_3^x\frac14(t-2)\,\mathrm{d}t\\ =&\,\frac58+\frac14\left[\frac{t^2}{2}-2t\right]_3^x\\ =&\,\frac14\left(\frac{x^2}{2}-2x\right)+1. \end{align*}

Therefore, for all real xx,

F(x)={0,x<1,14(−x22+3x)−58,1≤x≤2,2x−18,2<x≤3,14(x22−2x)+1,3<x≤4,1,x>4.\boxed{ F(x)= \begin{cases} 0, & x<1,\\[3pt] \dfrac14\left(-\dfrac{x^2}{2}+3x\right)-\dfrac58, & 1\leq x\leq2,\\[5pt] \dfrac{2x-1}{8}, & 2<x\leq3,\\[5pt] \dfrac14\left(\dfrac{x^2}{2}-2x\right)+1, & 3<x\leq4,\\[5pt] 1, & x>4. \end{cases} }

(c)

解法一

思路

展开

连续随机变量满足 P(a<X<b)=F(b)−F(a)P(a<X<b)=F(b)-F(a)。由于 1.2 与 3.1 位于 CDF 的不同分段，必须分别代入正确的第二段与第四段公式。

答题过程

展开

Using the appropriate pieces of FF,

F(3.1)= 14((3.1)22−2(3.1))+1= 0.65125,\begin{align*} F(3.1)=&\,\frac14\left(\frac{(3.1)^2}{2}-2(3.1)\right)+1\\ =&\,0.65125, \end{align*}

and

F(1.2)= 14(−(1.2)22+3(1.2))−58= 0.095.\begin{align*} F(1.2)=&\,\frac14\left(-\frac{(1.2)^2}{2}+3(1.2)\right)-\frac58\\ =&\,0.095. \end{align*}

Therefore,

P(1.2<X<3.1)= F(3.1)−F(1.2)= 0.65125−0.095= 0.55625≈ 0.556.\begin{align*} P(1.2<X<3.1)=&\,F(3.1)-F(1.2)\\ =&\,0.65125-0.095\\ =&\,\boxed{0.55625}\\ \approx&\,\boxed{0.556}. \end{align*}

解法二

思路

展开

也可以直接把区间 1.2<X<3.11.2<X<3.1 按概率密度的三个分段拆开积分。这样能直观看出每一段贡献的概率，并避免把 3.1 错代入中间段公式。

答题过程

展开

Integrating the probability density function directly,

P(1.2<X<3.1)= ∫1.2214(3−x) dx +∫2314 dx +∫33.114(x−2) dx= 0.28+0.25+0.02625= 0.55625.\begin{align*} P(1.2<X<3.1)=&\,\int_{1.2}^{2}\frac14(3-x)\,\mathrm{d}x\\ &\,+\int_2^3\frac14\,\mathrm{d}x\\ &\,+\int_3^{3.1}\frac14(x-2)\,\mathrm{d}x\\ =&\,0.28+0.25+0.02625\\ =&\,\boxed{0.55625}. \end{align*}