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S2 2024 Oct Q5

A Level / Edexcel / S2

IAL 2024 Oct Paper · Question 5

题目

Problem

The continuous random variable XX has a probability density function given by

f(x)=f(x)= {14(3−x),1⩽x⩽2,14,2<x⩽3,14(x−2),3<x⩽4,0,otherwise.\begin{cases} \begin{aligned} &\dfrac14(3-x),\\ &1\leqslant x\leqslant2,\end{aligned}\\[2mm] \begin{aligned} &\dfrac14,\\ &2<x\leqslant3,\end{aligned}\\[2mm] \begin{aligned} &\dfrac14(x-2),\\ &3<x\leqslant4,\end{aligned}\\[2mm] \begin{aligned} &0,\\ &\text{otherwise}.\end{aligned} \end{cases}

The cumulative distribution function of XX is F(x)F(x).

(a) Show that

 F(x) =14(−x22+3x) −58\begin{align*} &\,F(x)\\ &\,=\dfrac14\Big(-\dfrac{x^2}{2}+3x\Big)\\ &\,\hspace{2pt}-\dfrac58 \end{align*}

for 1⩽x⩽21\leqslant x\leqslant2

(2)

(b) Find F(x)F(x) for all values of xx

(5)

(c) Find P(1.2<X<3.1)P(1.2 < X < 3.1)

(2)

(Total for Question 5 is 9 marks)

题目中文翻译

连续随机变量 XX 的概率密度函数为

f(x)=f(x)= {14(3−x),1⩽x⩽2,14,2<x⩽3,14(x−2),3<x⩽4,0,其他情况.\begin{cases} \begin{aligned} &\dfrac14(3-x),\\ &1\leqslant x\leqslant2,\end{aligned}\\[2mm] \begin{aligned} &\dfrac14,\\ &2<x\leqslant3,\end{aligned}\\[2mm] \begin{aligned} &\dfrac14(x-2),\\ &3<x\leqslant4,\end{aligned}\\[2mm] \begin{aligned} &0,\\ &\text{其他情况}.\end{aligned} \end{cases}

XX 的累积分布函数为 F(x)F(x)。

(a) 证明对于 1⩽x⩽21\leqslant x\leqslant2，

 F(x) =14(−x22+3x) −58.\begin{align*} &\,F(x)\\ &\,=\dfrac14\Big(-\dfrac{x^2}{2}+3x\Big)\\ &\,\hspace{2pt}-\dfrac58. \end{align*}
(2)

(b) 求对所有 xx 值的 F(x)F(x)。

(5)

(c) 求 P(1.2<X<3.1)P(1.2 < X < 3.1)。

(2)

（第 5 题共 9 分）

解答

(a)

解法一

思路

展开

当 1≤x≤21\leq x\leq2 时，累积分布函数等于从支撑区间左端点 1 到 xx 的概率密度积分。完整代入下限后整理常数项，即可自然得到题目指定的形式。

答题过程

展开

For 1≤x≤21\leq x\leq2,

 F(x) =∫1x14(3−t) dt =14[3t−t22]1x =14(3x−x22) −14(3−12) =14(−x22+3x)−58.\begin{align*} &\,F(x)\\ &\,=\int_1^x\frac14(3-t)\,\mathrm{d}t\\ &\,=\frac14\Big[3t-\frac{t^2}{2}\Big]_1^x\\ &\,=\frac14\Big(3x-\frac{x^2}{2}\Big)\\ &\,\hspace{2pt}-\frac14\Big(3-\frac12\Big)\\[2mm] &\,=\boxed{\frac14\Big(-\frac{x^2}{2}+3x\Big)-\frac58}. \end{align*}

解法二

思路

展开

也可以先求密度函数的不定积分，再用 F(1)=0F(1)=0 确定积分常数。

答题过程

展开

For 1⩽x⩽21\leqslant x\leqslant2, integrating the density gives

 F(x) =14(3x−x22)+C.\begin{align*} &\,F(x)\\ &\,=\frac14\Big(3x-\frac{x^2}{2}\Big)+C. \end{align*}

Since F(1)=0F(1)=0,

0= 14(3−12)+C,0= 58+C,C= −58.\begin{align*} 0=&\,\frac14\Big(3-\frac12\Big)+C,\\ 0=&\,\frac58+C,\\ C=&\,-\frac58. \end{align*}

Therefore,

 F(x) =14(−x22+3x)−58.\begin{align*} &\,F(x)\\ &\,=\boxed{\frac14\Big(-\frac{x^2}{2}+3x\Big)-\frac58}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

在每一段上，从该段左端点继续累加概率，并承接前一端点的 CDF 值。先由 (a) 得 F(2)=3/8F(2)=3/8，再求中间常密度区间；由此得到 F(3)=5/8F(3)=5/8，最后积分第三段。支撑区间外分别为 0 和 1。

答题过程

展开

From part (a),

F(2)=38.F(2)=\frac38.

For 2<x≤32<x\leq3,

F(x)= F(2)+∫2x14 dt= 38+x−24= 2x−18.\begin{align*} F(x)=&\,F(2)+\int_2^x\frac14\,\mathrm{d}t\\ =&\,\frac38+\frac{x-2}{4}\\ =&\,\frac{2x-1}{8}. \end{align*}

Hence F(3)=5/8F(3)=5/8. For 3<x≤43<x\leq4,

 F(x) =F(3)+∫3x14(t−2) dt =58+14[t22−2t]3x =58+14(x22−2x) −14(322−2(3)) =58+14(x22−2x) +38 =14(x22−2x)+1.\begin{align*} &\,F(x)\\ &\,=F(3)+\int_3^x\frac14(t-2)\,\mathrm{d}t\\ &\,=\frac58+\frac14\Big[\frac{t^2}{2}-2t\Big]_3^x\\ &\,=\frac58+\frac14\Big(\frac{x^2}{2}-2x\Big)\\ &\,\hspace{2pt}-\frac14\Big(\frac{3^2}{2}-2(3)\Big)\\[2mm] &\,=\frac58+\frac14\Big(\frac{x^2}{2}-2x\Big)\\ &\,\hspace{2pt}+\frac38\\[2mm] &\,=\frac14\Big(\frac{x^2}{2}-2x\Big)+1. \end{align*}

Equivalently, the remaining non-constant pieces can be obtained by integrating and matching the endpoint values. Writing them with constants C2C_2 and C3C_3 gives

38= 24+C2,C2= −18,58= 14(322−2(3))+C3,C3= 1.\begin{align*} \frac38=&\,\frac24+C_2,\\ C_2=&\,-\frac18,\\[2mm] \frac58=&\,\frac14\Big(\frac{3^2}{2}-2(3)\Big)+C_3,\\ C_3=&\,1. \end{align*}

Collecting each polynomial over a common denominator, the cumulative distribution function for all real xx is

F(x)=F(x)= {0,x<1,−x2+6x−58,1≤x≤2,2x−18,2<x≤3,x2−4x+88,3<x≤4,1,x>4.\boxed{ \begin{cases} \begin{aligned} &0,\\ &x<1,\end{aligned}\\[2mm] \begin{aligned} &\dfrac{-x^2+6x-5}{8},\\ &1\leq x\leq2,\end{aligned}\\[2mm] \begin{aligned} &\dfrac{2x-1}{8},\\ &2<x\leq3,\end{aligned}\\[2mm] \begin{aligned} &\dfrac{x^2-4x+8}{8},\\ &3<x\leq4,\end{aligned}\\[2mm] \begin{aligned} &1,\\ &x>4.\end{aligned} \end{cases} }

(c)

解法一

思路

展开

对于连续随机变量，区间概率等于上端点与下端点的累积分布函数值之差。由于 1.2 与 3.1 位于 CDF 的不同分段，必须分别代入正确的第二段与第四段公式。

答题过程

展开

Using the appropriate pieces of FF,

 F(3.1) =14((3.1)22−2(3.1)) +1 =0.65125,\begin{align*} &\,F(3.1)\\ &\,=\frac14\Big(\frac{(3.1)^2}{2}-2(3.1)\Big)\\ &\,\hspace{2pt}+1\\[2mm] &\,=0.65125, \end{align*}

and

 F(1.2) =14(−(1.2)22 +3(1.2))−58 =0.095.\begin{align*} &\,F(1.2)\\ &\,=\frac14\Big(-\frac{(1.2)^2}{2}\\ &\,\hspace{2pt}+3(1.2)\Big)-\frac58\\[2mm] &\,=0.095. \end{align*}

Therefore,

 P(1.2<X<3.1) =F(3.1)−F(1.2) =0.65125−0.095 =0.55625 ≈0.556.\begin{align*} &\,P(1.2<X<3.1)\\ &\,=F(3.1)-F(1.2)\\ &\,=0.65125-0.095\\ &\,=\boxed{0.55625}\\ &\,\approx\boxed{0.556}. \end{align*}

解法二

思路

展开

也可以直接把区间 1.2<X<3.11.2<X<3.1 按概率密度的三个分段拆开积分。这样能直观看出每一段贡献的概率，并避免把 3.1 错代入中间段公式。

答题过程

展开

Integrating the probability density function directly,

 P(1.2<X<3.1) =∫1.2214(3−x) dx +∫2314 dx +∫33.114(x−2) dx =0.28+0.25+0.02625 =0.55625.\begin{align*} &\,P(1.2<X<3.1)\\ &\,=\int_{1.2}^{2}\frac14(3-x)\,\mathrm{d}x\\ &\,\hspace{2pt}+\int_2^3\frac14\,\mathrm{d}x\\ &\,\hspace{4pt}+\int_3^{3.1}\frac14(x-2)\,\mathrm{d}x\\ &\,=0.28+0.25+0.02625\\ &\,=\boxed{0.55625}. \end{align*}

解法三

思路

展开

密度图在三个区间上都是直线或水平线。分别用梯形、矩形、梯形面积求出三段概率，再相加。

答题过程

展开

The endpoint heights are

f(1.2)= 14(3−1.2)= 0.45,f(2)= f(3)=0.25,f(3.1)= 14(3.1−2)= 0.275.\begin{align*} f(1.2)=&\,\frac14(3-1.2)\\ =&\,0.45,\\[2mm] f(2)=&\,f(3)=0.25,\\[2mm] f(3.1)=&\,\frac14(3.1-2)\\ =&\,0.275. \end{align*}

The three areas are therefore

 A1=12(0.45+0.25) ×(2−1.2) =0.28, A2=(3−2)(0.25) =0.25, A3=12(0.25+0.275) ×(3.1−3) =0.02625.\begin{align*} &\,A_1=\frac12(0.45+0.25)\\ &\,\hspace{2pt}\times(2-1.2)\\ &\,=0.28,\\[2mm] &\,A_2=(3-2)(0.25)\\ &\,=0.25,\\[2mm] &\,A_3=\frac12(0.25+0.275)\\ &\,\hspace{2pt}\times(3.1-3)\\ &\,=0.02625. \end{align*}

Hence

 P(1.2<X<3.1) =A1+A2+A3 =0.28+0.25+0.02625 =0.55625 ≈0.556.\begin{align*} &\,P(1.2<X<3.1)\\ &\,=A_1+A_2+A_3\\ &\,=0.28+0.25+0.02625\\ &\,=\boxed{0.55625}\\ &\,\approx0.556. \end{align*}