题目

Problem

Two boxes, A and B, each contain a large number of coins.

In box A

there are only 1p coins and 2p coins
the ratio of 1p coins to 2p coins is 1 : 3

In box B

there are only 2p coins and 5p coins
the ratio of 2p coins to 5p coins is 1 : 4

One coin is randomly selected from box A and two coins are randomly selected from box B.

The random variable $T$ represents the total of the values of the three coins selected.

(a) Find the sampling distribution of $T$

(7)

The random variable $M$ represents the median of the values of the three coins selected.

(b) Find the sampling distribution of $M$

(4)

(Total for Question 6 is 11 marks)

题目中文翻译

两个盒子 A 和 B 各装有大量硬币。

盒子 A 中

只有 1p 和 2p 硬币
1p 硬币与 2p 硬币的比例为 1 : 3

盒子 B 中

只有 2p 和 5p 硬币
2p 硬币与 5p 硬币的比例为 1 : 4

从盒子 A 中随机抽取一枚硬币，从盒子 B 中随机抽取两枚硬币。

随机变量 $T$ 表示三枚所选硬币的面值总和。

(a) 求 $T$ 的抽样分布。

随机变量 $M$ 表示三枚所选硬币面值的中位数。

(b) 求 $M$ 的抽样分布。

（第 6 题共 11 分）

解答

(a)

解法一

思路

展开

先把两个盒子的比例化成抽到各面值硬币的概率。盒 B 抽两枚硬币时，一枚 2p、一枚 5p 可以按两种顺序出现，因此对应概率要乘以 2。列出六种基本面值组合，计算各自的总值和概率，即可得到 $T$ 的抽样分布。

答题过程

展开

For box A,

P(A=1)=\frac14, \qquad P(A=2)=\frac34.

For each selection from box B,

P(B=2)=\frac15, \qquad P(B=5)=\frac45.

For combinations containing one 2p coin and one 5p coin from box B, there are two possible orders. The six probabilities are

\begin{align*} P(1,2,2)=&\,\frac14\left(\frac15\right)^2\\ =&\,\frac1{100},\\ P(2,2,2)=&\,\frac34\left(\frac15\right)^2\\ =&\,\frac3{100},\\ P(1,2,5)=&\,2\left(\frac14\right)\left(\frac15\right)\\ &\,\hspace{2pt}\times\frac45\\ =&\,\frac8{100},\\ P(2,2,5)=&\,2\left(\frac34\right)\left(\frac15\right)\\ &\,\hspace{2pt}\times\frac45\\ =&\,\frac{24}{100},\\ P(1,5,5)=&\,\frac14\left(\frac45\right)^2\\ =&\,\frac{16}{100},\\ P(2,5,5)=&\,\frac34\left(\frac45\right)^2\\ =&\,\frac{48}{100}. \end{align*}

The corresponding totals are

Selected values	$T$	Probability
$(1,2,2)$	5	$\dfrac1{100}$
$(2,2,2)$	6	$\dfrac3{100}$
$(1,2,5)$	8	$\dfrac8{100}$
$(2,2,5)$	9	$\dfrac{24}{100}$
$(1,5,5)$	11	$\dfrac{16}{100}$
$(2,5,5)$	12	$\dfrac{48}{100}$

Hence the sampling distribution of $T$ is

$t$	5	6	8
$P(T=t)$	$\dfrac1{100}$	$\dfrac3{100}$	$\dfrac8{100}$

$t$	9	11	12
$P(T=t)$	$\dfrac{24}{100}$	$\dfrac{16}{100}$	$\dfrac{48}{100}$

(b)

解法一

思路

展开

根据 (a) 的六种组合逐一判断中位数。含至少两枚 2p 硬币的组合中位数为 2；含两枚 5p 硬币的组合中位数为 5。把属于同一中位数的概率相加。

答题过程

展开

The median is 2 for the combinations

(1,2,2),\quad(2,2,2),\quad(1,2,5),\quad(2,2,5).

Therefore,

P(M=2)=\frac{1+3+8+24}{100}=\frac{36}{100}.

The median is 5 for the combinations $(1,5,5)$ and $(2,5,5)$ , so

P(M=5)=\frac{16+48}{100}=\frac{64}{100}.

Hence the sampling distribution of $M$ is

$m$	2	5
$P(M=m)$	$\dfrac{36}{100}$	$\dfrac{64}{100}$

IAL 2024 Oct S2 Q6

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程