题目

Problem

The continuous random variable $X$ has probability density function given by

f(x)=

\begin{cases} \begin{aligned} &ax,\\ &0\leqslant x\leqslant4,\end{aligned}\\[2mm] \begin{aligned} &bx+c,\\ &4<x\leqslant8,\end{aligned}\\[2mm] \begin{aligned} &0,\\ &\text{otherwise}.\end{aligned} \end{cases}

where $a$ , $b$ and $c$ are constants.

Figure 1 shows the graph of the probability density function $f(x)$ .

The graph consists of two straight line segments of equal length joined at the point where $x = 4$ .

(a) Show that $a = \dfrac{1}{16}$

(1)

(b) Hence find

(i) the value of $b$

(ii) the value of $c$

(3)

(6)

(d) Find, to 2 decimal places, the lower quartile and the upper quartile of $X$

(3)

A statistician claims that

\begin{align*} &\,P(-\sigma<X-\mu\\ &\,\hspace{2pt}<\sigma)\\ &\,>0.5 \end{align*}

where $\mu$ and $\sigma$ are the mean and standard deviation of $X$ .

(e) Show that the statistician’s claim is correct.

(2)

(Total for Question 7 is 15 marks)

题目中文翻译

连续随机变量 $X$ 的概率密度函数为

f(x)=

\begin{cases} \begin{aligned} &ax,\\ &0\leqslant x\leqslant4,\end{aligned}\\[2mm] \begin{aligned} &bx+c,\\ &4<x\leqslant8,\end{aligned}\\[2mm] \begin{aligned} &0,\\ &\text{其他情况}.\end{aligned} \end{cases}

其中 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 为常数。

图 1 显示了概率密度函数 $f(x)$ 的图像。

该图像由两段等长的直线段组成，在 $x = 4$ 处连接。

(a) 证明 $a = \dfrac{1}{16}$

(1)

(b) 由此求

(i) $b$ 的值

(ii) $c$ 的值

(3)

(6)

(d) 求 $X$ 的下四分位数和上四分位数（精确到 2 位小数）。

(3)

一位统计学家声称

\begin{align*} &\,P(-\sigma<X-\mu<\sigma)\\ &\,>0.5 \end{align*}

其中 $\mu$ 和 $\sigma$ 为 $X$ 的均值和标准差。

(e) 证明统计学家的声称是正确的。

(2)

（第 7 题共 15 分）

解答

(a)

解法一

思路

展开

概率密度图下的总面积为 1。图像是底为 8、高为 $4a$ 的三角形，因此直接用三角形面积公式即可求出 $a$ 。

答题过程

展开

The total area under the probability density function is 1. Therefore,

\begin{align*} \frac12(8)(4a)=&\,1\\ 16a=&\,1. \end{align*}

Hence,

\boxed{a=\frac1{16}}.

解法二

思路

展开

图像关于 $x=4$ 对称，所以左半部分的面积为 $1/2$ 。把 $ax$ 从 0 积分到 4，也可直接求出 $a$ 。

答题过程

展开

By symmetry, the area under the left-hand part of the graph is $1/2$ . Thus

\begin{align*} \int_0^4 ax\,\mathrm{d}x=&\,\frac12\\ \left[\frac{ax^2}{2}\right]_0^4=&\,\frac12\\ 8a=&\,\frac12. \end{align*}

Therefore,

\boxed{a=\frac1{16}}.

(b)(i)

解法一

思路

展开

两条线段等长并在 $x=4$ 连接，图像关于 $x=4$ 对称。右半段的斜率与左半段大小相等、符号相反；承接 (a) 的 $a=1/16$ 即可得到 $b$ 。

答题过程

展开

By symmetry, the gradient of the right-hand line segment is the negative of the gradient of the left-hand segment. Hence

\boxed{b=-a=-\frac1{16}}.

(b)(ii)

解法一

思路

展开

右半段在点 $(8,0)$ 处与横轴相交。把 $x=8$ 、 $f(8)=0$ 及 (b)(i) 的 $b$ 代入直线 $f(x)=bx+c$ ，即可求出截距 $c$ 。

答题过程

展开

The right-hand line passes through $(8,0)$ , so

\begin{align*} 0=&\,-\frac1{16}(8)+c\\ c=&\,\boxed{\frac12}. \end{align*}

Equivalently, the line passes through $(4,1/4)$ , so

\begin{align*} \frac14=&\,-\frac1{16}(4)+c,\\ c=&\,\frac14+\frac14=\frac12. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

概率密度图关于 $x=4$ 对称，因此均值为 $E(X)=4$ 。再分段积分计算二阶矩，最后使用方差公式：

\begin{align*} &\,\operatorname{Var}(X)\\ &\,=E(X^2)-[E(X)]^2. \end{align*}

答题过程

展开

By symmetry,

E(X)=4.

Using the values found in parts (a) and (b),

\begin{align*} &\,E(X^2)\\ &\,=\int_0^4x^2\Big(\frac{x}{16}\Big)\,\mathrm{d}x\\ &\,\hspace{2pt}+\int_4^8x^2\Big(-\frac{x}{16}+\frac12\Big)\,\mathrm{d}x\\ &\,=\Big[\frac{x^4}{64}\Big]_0^4\\ &\,\hspace{2pt}+\Big[-\frac{x^4}{64}+\frac{x^3}{6}\Big]_4^8\\ &\,=\frac{4^4-0^4}{64}\\ &\,\hspace{2pt}+\Big(-\frac{8^4}{64}+\frac{8^3}{6}\Big)\\ &\,\hspace{4pt}-\Big(-\frac{4^4}{64}+\frac{4^3}{6}\Big)\\[2mm] &\,=4+\Big(-64+\frac{256}{3}\Big)\\ &\,\hspace{2pt}-\Big(-4+\frac{32}{3}\Big)\\[2mm] &\,=4+\frac{64}{3}-\frac{20}{3}\\ &\,=\frac{56}{3}. \end{align*}

Therefore,

\begin{align*} &\,\operatorname{Var}(X)\\ &\,=E(X^2)-[E(X)]^2\\ &\,=\frac{56}{3}-4^2\\ &\,=\frac{56-48}{3}\\ &\,=\boxed{\frac83}. \end{align*}

(d)

解法一

思路

展开

下四分位数 $Q_1$ 位于左半段，并满足 $P(X\leq Q_1)=0.25$ ，所以把左半段密度从 0 积分到 $Q_1$ 。图像关于 $x=4$ 对称，上四分位数可由 $Q_3=8-Q_1$ 得到。

答题过程

展开

For the lower quartile $Q_1$ ,

\begin{align*} \int_0^{Q_1}\frac{x}{16}\,\mathrm{d}x=&\,0.25\\ \frac{Q_1^2}{32}=&\,\frac14\\ Q_1^2=&\,8. \end{align*}

Since $Q_1>0$ ,

Q_1=\sqrt8=2.828\ldots

The distribution is symmetric about $x=4$ , so

\begin{align*} Q_3=&\,8-Q_1\\ =&\,8-\sqrt8\\ =&\,5.171\ldots. \end{align*}

Therefore, to 2 decimal places,

\boxed{\begin{aligned} Q_1=&\,2.83,\\ Q_3=&\,5.17. \end{aligned}}

解法二

思路

展开

下四分位数左侧是一个三角形，底为 $Q_1$ ，高为 $Q_1/16$ ，面积为 $1/4$ 。用三角形面积公式求 $Q_1$ ，再利用关于 $x=4$ 的对称性求 $Q_3$ 。

答题过程

展开

The area to the left of $Q_1$ is a triangle with base $Q_1$ and height $Q_1/16$ . Hence

\begin{align*} \frac12Q_1\Big(\frac{Q_1}{16}\Big)=&\,\frac14,\\ Q_1^2=&\,8. \end{align*}

Since $0<Q_1<4$ ,

Q_1=\sqrt8=2.828\ldots.

By symmetry about $x=4$ ,

\begin{align*} Q_3=&\,8-Q_1\\ =&\,8-\sqrt8\\ =&\,5.171\ldots. \end{align*}

Therefore, to 2 decimal places,

\boxed{\begin{aligned} Q_1=&\,2.83,\\ Q_3=&\,5.17. \end{aligned}}

(e)

解法一

思路

展开

先把声称中的事件改写为 $\mu-\sigma<X<\mu+\sigma$ ，并用 (c) 的均值与方差求两个边界。再与 (d) 的上下四分位数比较：四分位区间内恰有 50% 的概率，而均值上下一个标准差的区间严格包含四分位区间，因此其概率严格大于 0.5。

答题过程

展开

From part (c),

\begin{align*} \mu=&\,4,\\ \sigma=&\,\sqrt{\frac83}\\ =&\,1.63299\ldots. \end{align*}

Hence

\begin{align*} \mu-\sigma=&\,2.367\ldots\\ \mu+\sigma=&\,5.632\ldots \end{align*}

From part (d),

2.367\ldots<Q_1=2.828\ldots

and

Q_3=5.171\ldots<5.632\ldots.

The interval $(Q_1,Q_3)$ contains probability $0.5$ and is strictly contained in $(\mu-\sigma,\mu+\sigma)$ . Therefore,

\begin{align*} &\,P(-\sigma<X-\mu<\sigma)\\ &\,>0.5, \end{align*}

so the statistician’s claim is correct.

解法二

思路

展开

也可直接计算均值上下一个标准差之间的概率。利用图像关于 4 对称，只需求左端点以下的概率，再从 1 中减去两侧相等的尾部概率。

答题过程

展开

Let

L=4-\sqrt{\frac83}=2.367\ldots

By symmetry, the two tail probabilities outside $(\mu-\sigma,\mu+\sigma)$ are equal. Since $L<4$ ,

\begin{align*} F(L)=&\,\int_0^L\frac{x}{16}\,\mathrm{d}x\\ =&\,\Big[\frac{x^2}{32}\Big]_0^L\\ =&\,\frac{L^2}{32}. \end{align*}

Therefore,

\begin{align*} &\,P(-\sigma<X-\mu<\sigma)\\ &\,=1-2F(L)\\ &\,=1-\frac{L^2}{16}\\ &\,=0.6498\ldots\\ &\,>0.5. \end{align*}

Thus the statistician’s claim is correct.

S2 2024 Oct Q7

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(b)(i)

解法一

思路

答题过程

(b)(ii)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程

(d)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(e)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程