题目

Problem

A researcher repeats, independently, 100 trials of a task. The number of successes is $X$ and the probability of success on each trial is 0.05

(a) Find $P(X = 2)$

(2)

(b) Use a suitable Poisson approximation to estimate $P(X = 2)$

(2)

(d) State the conditions under which the Poisson distribution may be used as an approximation to the binomial distribution.

(1)

The random variable $Y$ has a Poisson distribution with mean $\lambda$ such that

$P(Y = 6) = 0.1601 \quad \text{and} \quad P(Y = 7) = 0.1418$

(e) By forming and solving 2 equations, find the value of $\lambda$ to 2 significant figures. Show your working clearly.

(4)

(Total for Question 1 is 11 marks)

题目中文翻译

一位研究者独立重复了 100 次任务试验。成功次数为 $X$ ，每次试验成功的概率为 0.05。

(a) 求 $P(X = 2)$ 。

(b) 使用合适的泊松近似估计 $P(X = 2)$ 。

(d) 说明可以使用泊松分布作为二项分布近似的条件。

随机变量 $Y$ 服从均值为 $\lambda$ 的泊松分布，使得

$P(Y = 6) = 0.1601 \quad \text{且} \quad P(Y = 7) = 0.1418$

(e) 通过建立并求解 2 个方程，求 $\lambda$ 的值（保留 2 位有效数字）。清楚地展示你的计算过程。

（第 1 题共 11 分）

解答

(a)

解法一

思路

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100 次独立试验中，每次成功概率为 0.05，因此 $X\sim B(100,0.05)$ 。要求恰好成功 2 次，直接使用二项分布概率公式。

答题过程

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Since

X\sim\operatorname{B}(100,0.05),

\begin{align*} P(X=2)=&\,\binom{100}{2}(0.05)^2(0.95)^{98}\\ =&\,0.081181\ldots\\ \approx&\,\boxed{0.0812}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

用泊松分布近似二项分布时，均值取 $\lambda=np=100(0.05)=5$ 。再用泊松概率公式估计恰好出现 2 次成功的概率。

答题过程

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For the Poisson approximation,

\lambda=np=100(0.05)=5.

Thus

\begin{align*} P(X=2)\approx&\,\frac{e^{-5}5^2}{2!}\\ =&\,0.084224\ldots\\ \approx&\,\boxed{0.0842}. \end{align*}

(c)

解法一

思路

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百分比误差以 (a) 的二项分布精确概率为基准，用“近似值与精确值之差的绝对值”除以精确值，再乘以 $100\%$ 。计算时使用未取整的概率可避免累积舍入误差。

答题过程

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Using the unrounded values from parts (a) and (b),

\begin{align*} \text{percentage error} =&\,\frac{|0.084224\ldots-0.081181\ldots|} {0.081181\ldots}\\ &\,\hspace{2pt}\times100\%\\ =&\,3.748\ldots\%\\ \approx&\,\boxed{3.75\%}. \end{align*}

(d)

解法一

思路

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泊松分布适合近似“试验次数很多、单次成功概率很小”的二项分布；题目要求同时说明这两个条件。

答题过程

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The Poisson distribution may be used as an approximation to the binomial distribution when

\boxed{n\text{ is large and }p\text{ is small}}.

(e)

解法一

思路

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按题意先分别用泊松概率公式建立 $P(Y=6)$ 与 $P(Y=7)$ 的两个方程。两式相除时，公共因子 $e^{-\lambda}$ 会消去，而且 $\lambda^7/7!$ 与 $\lambda^6/6!$ 的比值化为 $\lambda/7$ ，由此可直接求出 $\lambda$ 。

答题过程

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The two equations are

\frac{e^{-\lambda}\lambda^6}{6!}=0.1601

and

\frac{e^{-\lambda}\lambda^7}{7!}=0.1418.

Dividing the second equation by the first gives

\begin{align*} \frac{0.1418}{0.1601}=&\,\frac{\lambda}{7}\\ \lambda=&\,7\left(\frac{0.1418}{0.1601}\right)\\ =&\,6.19987\ldots \end{align*}

Therefore, to 2 significant figures,

\boxed{\lambda=6.2}.

IAL 2025 Jan S2 Q1

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程

(d)

解法一

思路

答题过程

(e)

解法一

思路

答题过程