(i) Nima 想研究离散随机变量 $X$ 的分布。分布的未知均值为 $\mu$。

Nima 抽取样本并得到样本均值 $\bar{x}$。

对于以下各项，说明它是否是统计量。在每种情况下给出你的理由。

(a) $\mu$ (b) $\bar{x}$

(ii) 离散随机变量 $Y$ 的抽样分布如下表所示。

对 $Y$ 进行两次随机独立观测。

求第一次观测值小于第二次观测值的概率。

(iii) 一个袋子中包含三个筹码，编号分别为 3、4 和 5。依次随机抽取两个筹码，不放回。

(a) 列出两个筹码分数的所有可能组合。

随机变量 $T$ 定义为

$T = \text{第一个筹码的数字} + (2 \times \text{第二个筹码的数字})$

(b) 列出 $T$ 的所有可能值。

(c) 求 $T$ 的抽样分布。

（第 2 题共 11 分）

统计量必须只由样本观测值计算得到，不能含有未知的总体参数。$\mu$ 是总体分布的未知均值，因此不是统计量。

$\mu$ is not a statistic because it is an unknown population parameter and is not calculated solely from the sample observations.

样本均值 $\bar{x}$ 完全由已观测到的样本值计算，不包含未知总体参数，所以它是统计量。

$\bar{x}$ is a statistic because it is calculated from the observed sample values and contains no unknown population parameters.

令两次独立观测分别为 $Y_1,Y_2$。先列出所有满足 $Y_1<Y_2$ 的取值对，再利用独立性把每一对的概率写成两个边缘概率的乘积，最后相加。

The possible ordered pairs satisfying $Y_1<Y_2$ are

Since the observations are independent,

由于 $T$ 对第一个与第二个筹码使用不同系数，抽取顺序会影响结果，所以必须列出有顺序的结果。第一次有 3 种选择，第二次因不放回而有 2 种选择，共 6 种。

The possible ordered outcomes are

对 (a) 的每一个有序结果代入“第一个数字加上第二个数字的 2 倍”，再删除重复值，得到 $T$ 的所有可能取值。

For the six ordered outcomes,

Therefore, the possible values of $T$ are

每一个有序结果的概率都是 $(1/3)(1/2)=1/6$。统计 (b) 的表中各个 $T$ 值出现的次数，再把次数乘以 $1/6$，即可得到抽样分布。

Each ordered outcome has probability

Hence the sampling distribution of $T$ is