随机变量 $X$ 在区间 $[-k, 5k]$ 上连续均匀分布，其中 $k > 0$。

(a) 用 $k$ 表示 $X$ 对所有 $x$ 值的概率密度函数。

(b) 画出 $X$ 的概率密度函数图像。

(c) 用 $k$ 表示 $X$ 的均值。

(d) 用 $k$ 表示 $X$ 对所有 $x$ 值的累积分布函数。

随机变量 $Y$ 定义为 $Y = X^2$。

(e) 用 $k$ 表示 $E(Y)$。

(f) 求 $Y < 2k^2$ 的精确概率。清楚地展示你的计算过程。

（第 3 题共 15 分）

连续均匀分布在支撑区间上的概率密度为区间长度的倒数。这里区间长度为 $5k-(-k)=6k$，区间外的概率密度为 0。

The length of the interval is

Therefore,

概率密度在 $-k\leq x\leq5k$ 上恒为 $1/(6k)$，区间外为 0。因此图像是在这两个端点之间的一条水平线，并须清楚标出横坐标端点和高度。

The graph is horizontal at height $1/(6k)$ from $x=-k$ to $x=5k$, and lies on the $x$-axis outside this interval.

连续均匀分布的均值是区间两个端点的中点，直接代入端点 $-k$ 与 $5k$ 即可。

For a continuous uniform distribution,

累积分布函数为 $F(x)=P(X\leq x)$。在支撑区间左侧，其值为 0；在区间内部，从左端点 $-k$ 积分至 $x$；在右端点之后，累计概率为 1。最后必须写出完整的分段函数。

For $-k\leq x\leq5k$,

Hence, for all real $x$,

在支撑区间内，均匀分布的累积分布函数是一条直线。这条直线经过 $(-k,0)$ 与 $(5k,1)$，可先由两点求斜率，再写出直线方程。

For $-k\leq x\leq5k$, the graph of $F$ is the straight line through $(-k,0)$ and $(5k,1)$. Its gradient is

Writing $F(x)=x/(6k)+c$ and using $F(-k)=0$ gives $c=1/6$. Therefore,

由于 $Y=X^2$，所以 $E(Y)=E(X^2)$。先用连续均匀分布的方差公式求 $\operatorname{Var}(X)$，再利用 $E(X^2)=\operatorname{Var}(X)+[E(X)]^2$，并承接 (c) 的均值结果。

For a continuous uniform distribution,

Using $E(X)=2k$ from part (c),

也可以直接使用期望的积分定义，把 $Y=X^2$ 乘以 (a) 的概率密度函数，并在整个支撑区间上积分。

Directly from the probability density function,

先把关于 $Y$ 的不等式改写成关于 $X$ 的不等式。由 $X^2<2k^2$ 得 $-\sqrt{2}\,k<X<\sqrt{2}\,k$；但 $X$ 的实际支撑区间从 $-k$ 开始，而 $k>0$，所以须取两个区间的交集，再利用均匀分布下“概率等于区间长度之比”。

Since $Y=X^2$,

As $k>0$, $-\sqrt{2}\,k<-k$ and $\sqrt{2}\,k<5k$. Intersecting this interval with the support $[-k,5k]$ gives

Therefore,

确定有效事件为 $-k<X<\sqrt{2}\,k$ 后，也可直接代入 (d) 的累积分布函数。由于连续随机变量在单点上的概率为 0，严格不等号不会改变结果。

Using the cumulative distribution function from part (d),