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S2 2025 Jan Q4

A Level / Edexcel / S2

IAL 2025 Jan Paper · Question 4

题目

Problem

(i) The probability density function of a continuous random variable XX is given by

f(x)=f(x)= {x320,1⩽x⩽3,0,otherwise.\begin{cases} \begin{aligned} &\dfrac{x^3}{20},\\ &1\leqslant x\leqslant3,\end{aligned}\\[2mm] \begin{aligned} &0,\\ &\text{otherwise}.\end{aligned} \end{cases}

(a) Using algebraic integration find E(X2)E(X^2). You must show your working.

(3)

Given that E(X)=2.42E(X) = 2.42

(b) find the value of Var(X)\text{Var}(X) correct to 3 significant figures.

(2)

(ii) A random sample of size 10 is taken from a continuous random variable YY.

(a) Find the probability that at least 7 of these values are smaller than the upper quartile of YY.

(3)

(b) Find the probability that less than or equal to 5 of these values are larger than the upper quartile of YY.

(2)

(Total for Question 4 is 10 marks)

题目中文翻译

(i) 连续随机变量 XX 的概率密度函数为

f(x)=f(x)= {x320,1⩽x⩽3,0,其他情况.\begin{cases} \begin{aligned} &\dfrac{x^3}{20},\\ &1\leqslant x\leqslant3,\end{aligned}\\[2mm] \begin{aligned} &0,\\ &\text{其他情况}.\end{aligned} \end{cases}

(a) 使用代数积分求 E(X2)E(X^2)。你必须展示你的计算过程。

(3)

已知 E(X)=2.42E(X) = 2.42

(b) 求 Var(X)\text{Var}(X) 的值，精确到 3 位有效数字。

(2)

(ii) 从连续随机变量 YY 中随机抽取大小为 10 的样本。

(a) 求其中至少 7 个值小于 YY 的上四分位数的概率。

(3)

(b) 求其中不超过 5 个值大于 YY 的上四分位数的概率。

(2)

（第 4 题共 10 分）

解答

(i)(a)

解法一

思路

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连续随机变量的二阶矩由以下积分给出：

E(X2)=∫x2f(x) dx.E(X^2)=\int x^2f(x)\,\mathrm{d}x.

概率密度只在 1≤x≤31\leq x\leq3 时非零，因此在这个区间内积分并保留精确值。

答题过程

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Using the definition of the second moment,

E(X2)= ∫13x2(x320) dx= [x6120]13= 36−16120= 9115.\begin{align*} E(X^2)=&\,\int_1^3 x^2\left(\frac{x^3}{20}\right)\,\mathrm{d}x\\ =&\,\left[\frac{x^6}{120}\right]_1^3\\ =&\,\frac{3^6-1^6}{120}\\ =&\,\boxed{\frac{91}{15}}. \end{align*}

(i)(b)

解法一

思路

展开

利用方差公式

 Var⁡(X) =E(X2)−[E(X)]2,\begin{align*} &\,\operatorname{Var}(X)\\ &\,=E(X^2)-[E(X)]^2, \end{align*}

代入 (a) 的精确二阶矩与题目给出的均值 2.42，再按要求取 3 位有效数字。

答题过程

展开

Using the result from part (i)(a),

 Var⁡(X) =E(X2)−[E(X)]2 =9115−(2.42)2 =0.210266…\begin{align*} &\,\operatorname{Var}(X)\\ &\,=E(X^2)-[E(X)]^2\\ &\,=\frac{91}{15}-(2.42)^2\\ &\,=0.210266\ldots \end{align*}

Therefore, correct to 3 significant figures,

Var⁡(X)=0.210.\boxed{\operatorname{Var}(X)=0.210}.

(ii)(a)

解法一

思路

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任意一个样本值小于上四分位数的概率为 0.75。令 SS 表示 10 个样本值中小于上四分位数的个数，则 SS 服从二项分布，所求为 P(S≥7)P(S\geq7)。

答题过程

展开

Let SS be the number of sample values smaller than the upper quartile of YY. Since YY is continuous,

S∼B⁡(10,0.75).S\sim\operatorname{B}(10,0.75).

Therefore,

 P(S≥7) =1−P(S≤6) =1−0.22412… =0.77587… ≈0.776.\begin{align*} &\,P(S\geq7)\\ &\,=1-P(S\leq6)\\ &\,=1-0.22412\ldots\\ &\,=\boxed{0.77587\ldots}\\ &\,\approx\boxed{0.776}. \end{align*}

解法二

思路

展开

也可改为统计大于上四分位数的样本值。由于分布连续，样本值恰好等于上四分位数的概率为 0；至少 7 个值较小，等价于至多 3 个值较大。

答题过程

展开

Let LL be the number of sample values larger than the upper quartile of YY. Then

L∼B⁡(10,0.25).L\sim\operatorname{B}(10,0.25).

Hence

P(L≤3)= 0.77587…≈ 0.776.\begin{align*} P(L\leq3)=&\,0.77587\ldots\\ \approx&\,\boxed{0.776}. \end{align*}

(ii)(b)

解法一

思路

展开

继续令 LL 表示大于上四分位数的样本值个数，则 L∼B(10,0.25)L\sim B(10,0.25)，题目所求可直接写成累积概率 P(L≤5)P(L\leq5)。

答题过程

展开

Using L∼B⁡(10,0.25)L\sim\operatorname{B}(10,0.25),

P(L≤5)= 0.98027…≈ 0.980.\begin{align*} P(L\leq5)=&\,0.98027\ldots\\ \approx&\,\boxed{0.980}. \end{align*}

解法二

思路

展开

若沿用“较小值的个数” SS，至多 5 个值较大等价于至少 5 个值较小，因此可用补事件计算 P(S≥5)P(S\geq5)。

答题过程

展开

Using S∼B⁡(10,0.75)S\sim\operatorname{B}(10,0.75),

 P(S≥5) =1−P(S≤4) =1−0.019727… =0.98027… ≈0.980.\begin{align*} &\,P(S\geq5)\\ &\,=1-P(S\leq4)\\ &\,=1-0.019727\ldots\\ &\,=\boxed{0.98027\ldots}\\ &\,\approx\boxed{0.980}. \end{align*}