(i) 连续随机变量 $X$ 的概率密度函数为

$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^3}{20} & 1 \leqslant x \leqslant 3 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$

(a) 使用代数积分求 $E(X^2)$。你必须展示你的计算过程。

已知 $E(X) = 2.42$

(b) 求 $\text{Var}(X)$ 的值，精确到 3 位有效数字。

(ii) 从连续随机变量 $Y$ 中随机抽取大小为 10 的样本。

(a) 求其中至少 7 个值小于 $Y$ 的上四分位数的概率。

(b) 求其中不超过 5 个值大于 $Y$ 的上四分位数的概率。

（第 4 题共 10 分）

连续随机变量的二阶矩为 $E(X^2)=\int x^2f(x)\,\mathrm{d}x$。概率密度只在 $1\leq x\leq3$ 时非零，因此在这个区间内积分并保留精确值。

Using the definition of the second moment,

利用方差公式 $\operatorname{Var}(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$，代入 (a) 的精确二阶矩与题目给出的均值 2.42，再按要求取 3 位有效数字。

Using the result from part (i)(a),

Therefore, correct to 3 significant figures,

任意一个样本值小于上四分位数的概率为 0.75。令 $S$ 表示 10 个样本值中小于上四分位数的个数，则 $S$ 服从二项分布，所求为 $P(S\geq7)$。

Let $S$ be the number of sample values smaller than the upper quartile of $Y$. Since $Y$ is continuous,

Therefore,

也可改为统计大于上四分位数的样本值。由于分布连续，样本值恰好等于上四分位数的概率为 0；至少 7 个值较小，等价于至多 3 个值较大。

Let $L$ be the number of sample values larger than the upper quartile of $Y$. Then

Hence

继续令 $L$ 表示大于上四分位数的样本值个数，则 $L\sim B(10,0.25)$，题目所求可直接写成累积概率 $P(L\leq5)$。

Using $L\sim\operatorname{B}(10,0.25)$,

若沿用“较小值的个数” $S$，至多 5 个值较大等价于至少 5 个值较小，因此可用补事件计算 $P(S\geq5)$。

Using $S\sim\operatorname{B}(10,0.75)$,