每年夏天会有几周的流星雨。在这个流星雨期间的一个周一晚上，Chris 出去看流星，平均每小时看到 15 颗流星。

(a) 求在这个周一晚上的随机 20 分钟内，Chris 看到以下情况的概率

(i) 至少 6 颗流星，

(ii) 不超过 3 颗流星。

Chris 从当地天文俱乐部得知，下周五晚上每小时能看到的流星比周一晚上多。

Chris 决定使用周五晚上的数据在 5% 的显著性水平下检验是否有证据支持当地天文俱乐部的声明。

Chris 计划在周五晚上花 30 分钟看流星。

(b) 写出 Chris 可以使用的合适原假设和备择假设。

(c) 求此检验的临界区域并说明其关联概率。

在周五晚上，Chris 在 30 分钟内看到了 12 颗流星。

(d) 说明可以使用此观察结果得出的检验结论。给出你的理由。

（第 5 题共 10 分）

在固定时段内出现的流星数可用泊松分布建模。每小时平均 15 颗，因此 20 分钟内的平均数为 $15\times\frac13=5$。“至少 6 颗”是上尾事件，可利用补事件计算。

Let $M$ be the number of meteors seen in 20 minutes. Then

Therefore,

“不超过 3 颗”直接对应泊松分布的累积概率 $P(M\leq3)$。

Using $M\sim\operatorname{Po}(5)$,

令 $\lambda$ 表示周五晚上每小时可见流星数的平均值。原假设采用周一的平均值 15；俱乐部声称平均数增加，因此备择假设为右尾形式。

Let $\lambda$ be the mean number of meteors seen per hour on Friday night. Suitable hypotheses are

在原假设下，30 分钟内的平均流星数为 7.5。由于备择假设检验平均数是否增加，临界区域位于分布的上尾。检查相邻的整数边界，选择上尾概率首次不超过 0.05 的起点，并把该上尾概率作为关联概率。

Let $X$ be the number of meteors seen in 30 minutes. Under $H_0$,

For the upper tail,

whereas

Hence the critical region and its associated probability are

把观测值 12 与 (c) 的临界区域比较。由于 12 没有落入临界区域，所以不能拒绝原假设；结论必须回到“周五可见流星的平均数是否增加”这一语境。

The observed value is $x=12$, which is not in the critical region $X\geq13$. Therefore, $H_0$ is not rejected.

There is insufficient evidence, at the 5% significance level, to support the astronomy club’s claim that the mean number of meteors seen per hour has increased.

也可直接计算观测值对应的右尾概率。若这个 $p$-值大于显著性水平 0.05，则观测结果不够极端，不能拒绝原假设。

The $p$-value is

Since $0.0792>0.05$, $H_0$ is not rejected. There is insufficient evidence to support the claim that the mean number of meteors seen per hour has increased.