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S2 2025 Jan Q6

A Level / Edexcel / S2

IAL 2025 Jan Paper · Question 6

题目

Problem

The discrete random variable RR has the distribution R∼B(n,p)R \sim B(n, p)

The mean of RR is 200

(a) State the variance of RR in terms of pp

(1)

A normal distribution is used as an approximation for RR.

Using this approximation,

P(R<180)= 0.0307\begin{align*} P(R<180)=&\,0.0307 \end{align*}

to 3 significant figures.

(b) Show that

 200−200p =10.96\begin{align*} &\,\sqrt{200-200p}\\ &\,=10.96 \end{align*}

to 4 significant figures.

(5)

(c) Hence find the value of pp, giving your answer to 2 significant figures.

(2)

(Total for Question 6 is 8 marks)

题目中文翻译

离散随机变量 RR 的分布为 R∼B(n,p)R \sim B(n, p)。

RR 的均值为 200。

(a) 用 pp 表示 RR 的方差。

(1)

正态分布被用作 RR 的近似。

使用此近似，

P(R<180)=0.0307P(R<180)=0.0307

（精确到 3 位有效数字）。

(b) 证明

 200−200p =10.96\begin{align*} &\,\sqrt{200-200p}\\ &\,=10.96 \end{align*}

（精确到 4 位有效数字）。

(5)

(c) 由此求 pp 的值，答案保留 2 位有效数字。

(2)

（第 6 题共 8 分）

解答

(a)

解法一

思路

展开

二项分布的均值为 npnp，由题意可知 np=200np=200。再把它代入方差公式 np(1−p)np(1-p)，即可得到只含 pp 的表达式。

答题过程

展开

Since E(R)=np=200E(R)=np=200,

Var⁡(R)= np(1−p)= 200(1−p).\begin{align*} \operatorname{Var}(R)=&\,np(1-p)\\ =&\,\boxed{200(1-p)}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

用均值为 200、方差为 200(1−p)200(1-p) 的正态分布近似 RR。事件 R<180R<180 等价于 R≤179R\leq179，连续性修正后的边界为 179.5。将给出的左尾概率标准化，并由标准正态分布求对应的负分位数，即可解出标准差。

答题过程

展开

Using the normal approximation,

Y∼N(200,200(1−p)).Y\sim N\big(200,200(1-p)\big).

Applying a continuity correction,

 P(R<180) =P(R≤179) ≈P(Y<179.5) =0.0307.\begin{align*} &\,P(R<180)\\ &\,=P(R\leq179)\\ &\,\approx P(Y<179.5)\\ &\,=0.0307. \end{align*}

From the standard normal table, with Z∼N(0,1)Z\sim N(0,1),

Φ−1(0.0307)≈−1.87.\Phi^{-1}(0.0307)\approx-1.87.

standardising gives

179.5−200200(1−p)≈−1.87.\frac{179.5-200}{\sqrt{200(1-p)}}\approx-1.87.

and hence

 200(1−p) ≈−20.5−1.87 =10.962566….\begin{align*} &\,\sqrt{200(1-p)}\\ &\,\approx\frac{-20.5}{-1.87}\\ &\,=10.962566\ldots. \end{align*}

Therefore, to 4 significant figures,

200−200p=10.96.\boxed{\sqrt{200-200p}=10.96}.

(c)

解法一

思路

展开

利用 (b) 的结果，两边平方后解关于 pp 的方程，并按要求把答案保留 2 位有效数字。

答题过程

展开

Using the result from part (b),

200−200p= (10.96)2p= 1−(10.96)2200= 0.399392.\begin{align*} 200-200p=&\,(10.96)^2\\ p=&\,1-\frac{(10.96)^2}{200}\\ =&\,0.399392. \end{align*}

Therefore, to 2 significant figures,

p=0.40.\boxed{p=0.40}.