连续随机变量 $X$ 的概率密度函数定义为

(a) 画出 $y = f(x)$ 的图像。

(b) 由此写出 $X$ 的众数。

(c) 使用代数积分并清楚地展示你的计算过程

(i) 证明 $k = \dfrac{3}{28}$

(ii) 验证 $X$ 的上四分位数在 5.71 和 5.72 之间。

（第 7 题共 10 分）

在区间 $2\leq x\leq6$ 内，$y=k(x-3)^2$ 是开口向上的抛物线的一部分，最低点为 $(3,0)$，两端点分别为 $(2,k)$ 和 $(6,9k)$；区间外的概率密度为 0。作图时须标明这些关键坐标。

The required sketch is the part of the curve $y=k(x-3)^2$ from $(2,k)$ to $(6,9k)$, with minimum point $(3,0)$, and $f(x)=0$ outside this interval.

众数是概率密度取得最大值处的 $x$ 值。从 (a) 的图像可见，区间内的最高点位于右端点 $x=6$。

From the sketch, the probability density is greatest at $x=6$. Therefore,

概率密度函数在整个定义域下的积分等于 1。把 $k(x-3)^2$ 从 2 积分到 6，清楚代入上下限后即可求出 $k$。

Since the total probability is 1,

Therefore,

也可以把密度函数展开后求不定积分，得到累积分布函数的一般形式。先用 $F(2)=0$ 求积分常数，再用 $F(6)=1$ 求 $k$。

For $2\leqslant x\leqslant6$, integrating the density gives

Since $F(2)=0$,

Using $F(6)=1$ now gives

上四分位数 $Q_3$ 满足 $P(X\leq Q_3)=0.75$。分别计算累积分布函数在 5.71 与 5.72 处的值；若前者小于 0.75、后者大于 0.75，再利用累积分布函数单调递增，即可完成验证。

For $2\leq x\leq6$, the cumulative distribution function is

Therefore,

and

Thus

Since $F$ is increasing and $F(Q_3)=0.75$,

Equivalently, the difference from $0.75$ changes sign:

上四分位数右侧的概率为 $1/4$。分别把 5.71 和 5.72 作为右尾积分的下限，比较两个右尾概率与 $0.25$，也能夹出上四分位数的位置。

For $2\leqslant a\leqslant6$, let $T(a)=P(X>a)$. Then

Substituting the two proposed bounds,

Thus

Since $T$ is decreasing and $T(Q_3)=0.25$,

Equivalently, subtracting $0.25$ gives