连续随机变量 $X$ 的累积分布函数为

$F(x) = \begin{cases} 0 & x < 0 \\ k(6x^2 - x^4) & 0 \leqslant x \leqslant 1 \\ 1 & x > 1 \end{cases}$

其中 $k$ 为正常数。

(a) 证明 $k = \dfrac{1}{5}$

(b) 求 $P(X > 0.6)$

(c) (i) 证明 $X$ 的中位数 $m$ 满足

$am^4 + bm^2 + c = 0$

其中 $a$、$b$ 和 $c$ 为待求整数。

(ii) 由此求 $m$ 的值。

(d) 使用微积分求 $X$ 的众数。

已知 $E(X) = 0.64$

(e) 说明分布的偏度并给出理由。

（第 1 题共 11 分）

累积分布函数在支撑区间上端点必须达到 1。代入 $x=1$，由 $F(1)=1$ 直接求出正常数 $k$，从而自然得到题目所给结果。

Since $F(1)=1$,

Therefore,

so

as required.

累积分布函数给出 $P(X\leq x)$，因此使用补事件 $P(X>0.6)=1-F(0.6)$。代入 (a) 的 $k=1/5$ 后计算。

Using $k=1/5$,

连续分布的中位数 $m$ 满足 $F(m)=1/2$。代入 $k=1/5$，再清除分母并整理，即可得到题目要求的整系数四次方程，并读出 $a,b,c$。

The median $m$ satisfies

Therefore,

Thus the required equation is

where $a=2$, $b=-12$ and $c=5$.

承接 (c)(i)，把方程视为关于 $m^2$ 的二次方程。解出两个 $m^2$ 后，利用中位数必须位于支撑区间 $[0,1]$，舍去大于 1 的根，再取非负平方根。

From part (c)(i), treating the equation as a quadratic in $m^2$ gives

Since $0\leq m\leq1$, we require $0\leq m^2\leq1$. Hence the positive-sign value is rejected, and

Therefore,

众数是概率密度达到最大值的位置。先对累积分布函数求导得到密度 $f(x)$，再对密度求导并令其等于零。解得的驻点中只有 $x=1$ 位于支撑区间内，并可由密度在 $[0,1]$ 上递增确认它给出最大值。

For $0\leq x\leq1$, the probability density function is

Differentiating the density,

At a stationary point,

Only $x=1$ lies in the support $[0,1]$. Also, $f'(x)>0$ for $0\leq x<1$, so the density increases up to $x=1$. Therefore, the mode is

比较已知均值、(c) 的中位数和 (d) 的众数。三者满足“均值小于中位数小于众数”，这是负偏态分布的典型次序。

The mean, median and mode satisfy

That is,

Therefore, the distribution is