周五晚上，一家商店从晚上 7 点营业到 11 点。在此期间，已知顾客以每小时 20 人的平均速率进入商店。

(a) 说明一个合适的分布来建模周五晚上 30 分钟内进入商店的顾客数量。

(b) 说明 (a) 中模型有效所需的一个必要假设。

经理对商店布局进行了改造。改造后，经理想了解进入商店的顾客平均速率是否发生了变化。

为此，经理决定在下周五监控进入商店的顾客数量。经理在晚上 7 点到 11 点之间随机选择了一个 30 分钟的时间段。

(c) 写出经理应使用的合适原假设和备择假设。

(d) 使用 3% 的显著性水平，求此检验的临界区域。

(e) 根据你在 (d) 中的临界区域，求此检验的实际显著性水平。

在经理监控的 30 分钟内，有 16 名顾客进入了商店。

(f) 根据你在 (d) 中找到的临界区域，评论此发现。

（第 2 题共 10 分）

顾客在固定时间内进入商店的次数可用泊松分布建模。每小时平均 20 人，所以 30 分钟内的平均人数为 $20/2=10$。

Let $X$ be the number of customers entering the shop in 30 minutes. A suitable model is

泊松过程要求事件相互独立，并以恒定平均速率随机发生。题目只要求一个必要假设，可说明各位顾客进入商店彼此独立。

A necessary assumption is that

令 $\lambda$ 表示改造后 30 分钟内进入商店的平均顾客数。经理想检验平均速率是否“发生变化”，没有指定方向，因此备择假设为双尾的 $\lambda\neq10$。

Let $\lambda$ be the mean number of customers entering the shop in a 30-minute interval after the alterations. The hypotheses are

这是 3% 显著性水平的双尾检验，因此每一尾的概率不得超过 0.015。在 $X\sim\operatorname{Po}(10)$ 下分别检查下尾和上尾的相邻整数边界，取仍满足单尾限制的最外侧区域。

Under $H_0$,

For the lower tail,

but

For the upper tail,

but

Therefore, the critical region is

实际显著性水平等于临界区域两端尾概率之和。使用 (d) 的下尾 $X\leq3$ 与上尾 $X\geq18$，相加后再化为百分数。

The actual significance level is

观察值 16 不满足 $X\leq3$，也不满足 $X\geq18$，所以不在临界区域内。不能拒绝原假设，最后要结合“进入商店的顾客平均速率是否改变”写出结论。

The observed value, $X=16$, is not in the critical region. Therefore, $H_0$ is not rejected.

There is insufficient evidence at the $3\%$ significance level to suggest that the mean rate at which customers enter the shop has changed.