题目

Problem

A bag contains a large number of beads of the same size and shape. The beads are either black or white.

Black beads and white beads occur in the ratio 2 : 5 respectively.

In a game a player takes a random sample of 3 beads from the bag.

The player scores

4 points for each black bead taken
1 point for each white bead taken

The random variable $X$ represents the total number of points for the 3 beads.

(a) Find the sampling distribution of $X$

(6)

A random sample of $n$ sets of 3 beads is taken. The random variable $Y$ represents the number of these $n$ sets that have a total of exactly 9 points.

(b) Calculate the minimum value of $n$ such that $P(Y \geqslant 1) > 0.95$

(3)

(Total for Question 4 is 9 marks)

题目中文翻译

一个袋子中装有大量大小和形状相同的珠子。珠子为黑色或白色。

黑色珠子和白色珠子的比例分别为 2 : 5。

在游戏中，玩家从袋子中随机抽取 3 颗珠子。

玩家得分

每颗黑色珠子得 4 分
每颗白色珠子得 1 分

随机变量 $X$ 表示 3 颗珠子的总分。

(a) 求 $X$ 的抽样分布。

随机抽取了 $n$ 组 3 颗珠子。随机变量 $Y$ 表示这 $n$ 组中恰好得 9 分的组数。

(b) 计算使 $P(Y \geqslant 1) > 0.95$ 的最小 $n$ 值。

（第 4 题共 9 分）

解答

(a)

解法一

思路

展开

每颗黑珠的概率为 $2/7$ ，白珠为 $5/7$ 。设三颗中有 $B$ 颗黑珠，则 $B\sim B(3,2/7)$ ；总分为 $4B+(3-B)=3+3B$ ，所以可能得分为 3、6、9、12。分别计算 $B=0,1,2,3$ 的二项概率。

答题过程

展开

The probabilities of selecting a black or white bead are

P(\text{black})=\frac27, \qquad P(\text{white})=\frac57.

Let $B$ be the number of black beads among the three selected. Then

B\sim\operatorname{B}\left(3,\frac27\right).

If there are $B$ black beads, the total score is

X=4B+(3-B)=3+3B.

Therefore, the possible values of $X$ are $3,6,9,12$ , with

\begin{align*} P(X=3) =&\,\left(\frac57\right)^3 =\frac{125}{343},\\ P(X=6) =&\,3\left(\frac27\right) \left(\frac57\right)^2 =\frac{150}{343},\\ P(X=9) =&\,3\left(\frac27\right)^2 \left(\frac57\right) =\frac{60}{343},\\ P(X=12) =&\,\left(\frac27\right)^3 =\frac8{343}. \end{align*}

Hence the sampling distribution is

$x$	3	6	9	12
$P(X=x)$	$\dfrac{125}{343}$	$\dfrac{150}{343}$	$\dfrac{60}{343}$	$\dfrac{8}{343}$

(b)

解法一

思路

展开

每组恰好得 9 分的概率由 (a) 得到，为 $60/343$ 。在 $n$ 组中至少出现一次，用补事件写成 $1-(283/343)^n$ ；建立不等式后取对数，并注意底数小于 1，所以除以负的对数时不等号方向反转。

答题过程

展开

For each set of three beads,

P(X=9)=\frac{60}{343}.

Hence,

Y\sim\operatorname{B}\left(n,\frac{60}{343}\right).

Using the complement,

\begin{align*} P(Y\geq1)>&\,0.95\\ 1-P(Y=0)>&\,0.95\\ 1-\left(\frac{283}{343}\right)^n>&\,0.95\\ \left(\frac{283}{343}\right)^n<&\,0.05. \end{align*}

Taking logarithms,

n\log\left(\frac{283}{343}\right)<\log(0.05).

Since $\log(283/343)<0$ , dividing reverses the inequality:

\begin{align*} n>&\,\frac{\log(0.05)} {\log(283/343)}\\ n>&\,15.579\ldots. \end{align*}

Therefore, the minimum possible integer value is

\boxed{n=16}.

解法二

思路

展开

官方评分资料也接受在对数计算后验证相邻整数。直接计算 $n=15$ 与 $n=16$ 时“至少一组得 9 分”的概率，前者未超过 0.95，后者超过 0.95，因此可确认最小值。

答题过程

展开

At $n=15$ ,

1-\left(\frac{283}{343}\right)^{15} =0.9441\ldots<0.95.

At $n=16$ ,

1-\left(\frac{283}{343}\right)^{16} =0.9539\ldots>0.95.

Therefore, the minimum value is

\boxed{n=16}.

IAL 2025 Jun S2 Q4

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程