连续随机变量 $X$ 在区间 $[a, b]$ 上均匀分布。

已知

• $P(2 < X < 5) = \dfrac{3}{16}$
• $E(X) = 6$

(a) 求 $a$ 的值和 $b$ 的值。

(b) 求常数 $c$ 的值使得 $E(cX + 1) = 3$。

(c) 求 $\text{Var}(X)$ 的精确值。

(d) 求 $E(X^2)$ 的精确值。

(e) 求 $P\left(\dfrac{3}{2}X - b > a\right)$。

（第 6 题共 10 分）

先考虑区间 $[2,5]$ 完全位于均匀分布支撑区间内的情形。此时概率等于长度之比，因此可求出总区间长度 $b-a$；再由均匀分布的均值 $(a+b)/2=6$ 联立求 $a,b$。

First suppose that $a\leq2<5\leq b$. Then

so

Also,

so $a+b=12$. Solving the simultaneous equations gives

These values satisfy the assumed ordering $a\leq2<5\leq b$.

还必须考虑左端点 $a$ 位于 2 与 5 之间的情形。此时事件 $2<X<5$ 实际只覆盖支撑区间中的 $a<X<5$，其长度为 $5-a$。与均值条件联立后得到第二组官方认可的答案。

Now suppose that $2<a<5<b$. Then

From $E(X)=6$,

so $b=12-a$. Substituting,

Therefore,

Hence the second possible pair is

These values satisfy $2<a<5<b$.

利用期望的线性性质 $E(cX+1)=cE(X)+1$。题目已给出 $E(X)=6$，所以这一问不受 (a) 中两组端点影响。

Using linearity of expectation,

若采用 (a) 的第一组端点，区间长度为 16。把它代入均匀分布方差公式 $(b-a)^2/12$。

For $a=-2$ and $b=14$,

若采用 (a) 的第二组端点，区间长度为 $38/5-22/5=16/5$。同样代入均匀分布的方差公式。

For $a=22/5$ and $b=38/5$,

承接 (c) 的第一组结果，使用 $E(X^2)=\operatorname{Var}(X)+[E(X)]^2$。这里 $E(X)=6$。

For $a=-2$ and $b=14$,

承接 (c) 的第二组结果，仍使用二阶矩与方差、均值的关系，将 $64/75$ 与 $6^2$ 相加。

For $a=22/5$ and $b=38/5$,

先把不等式整理为关于 $X$ 的条件。两组端点都满足 $a+b=12$，所以条件统一化为 $X>8$。对第一组支撑区间 $[-2,14]$，再用区间长度之比计算概率。

The inequality can be rearranged as

since $a+b=12$. For $X\sim\operatorname{U}(-2,14)$,

对于第二组支撑区间 $[22/5,38/5]$，同样需要 $X>8$。但上端点 $38/5=7.6$ 小于 8，因此该事件不可能发生。

For $X\sim\operatorname{U}(22/5,38/5)$, the required condition is again $X>8$. Since

the probability is