从眼科医生处购买眼镜时，顾客可获得意外损坏保险。

眼科医生的过往记录显示，30% 的顾客在购买眼镜时会购买保险。

在随机抽取的 40 名已购买眼镜的顾客中，$X$ 表示购买保险的人数。

(a) 说明 $X$ 分布的合适模型。

(b) 说明 (a) 中模型有效所需的一个必要假设。

购买眼镜的顾客中少于 $r$ 人购买保险的概率小于 0.05

(c) 求 $r$ 的最大可能值。

又随机抽取了 200 名已购买眼镜的顾客样本。

使用正态近似，这 200 名顾客中至少 $t$ 人购买保险的概率为 0.9474（精确到 4 位小数）。

(d) 求 $t$ 的值。你必须展示你的计算过程。

眼科医生决定推出一项特别优惠：购买眼镜的顾客如果购买保险，前三个月免费。

此后，随机抽取了 25 名购买眼镜的顾客样本，其中 11 人购买了保险。

(e) 在 10% 的显著性水平下，检验是否有证据表明购买眼镜时购买保险的顾客比例已经增加。清楚地陈述你的假设。

（第 7 题共 14 分）

样本量固定为 40，每名顾客只有“购买保险”或“不购买保险”两种结果，购买保险的概率为 0.3。因此可使用二项分布模型。

A suitable model is

二项模型要求各次试验相互独立，并且成功概率保持不变。题目只要求一个必要假设，可说明不同顾客是否购买保险彼此独立。

A necessary assumption is that

因为 $X$ 只能取整数，“少于 $r$ 人”表示 $P(X<r)=P(X\leq r-1)$。检查相邻整数边界：$P(X\leq6)$ 小于 0.05，而 $P(X\leq7)$ 已大于 0.05，因此最大整数 $r$ 为 7。

Using $X\sim\operatorname{B}(40,0.3)$,

but

Therefore, the largest possible integer value is

200 人中购买保险的人数服从 $B(200,0.3)$，其均值为 60、方差为 42。用 $N(60,42)$ 近似时，“至少 $t$ 人”经连续性修正成为正态变量大于 $t-0.5$。上尾概率 0.9474 对应标准正态分位数约为 $-1.620$，由此解出整数 $t$。

Let $Y$ be the number, out of 200 customers, who buy insurance. Then

Its mean and variance are

and

Therefore,

Using a continuity correction,

Since $P(Z>-1.62015\ldots)=0.9474$,

Hence,

As $t$ is an integer,

令 $p$ 为推出优惠后购买保险的顾客比例。题目检验比例是否增加，因此使用右尾二项检验；在原假设下样本人数服从 $B(25,0.3)$。计算观察到至少 11 人的概率，并与显著性水平 0.10 比较。

Let $p$ be the proportion of customers who buy insurance after the special offer. The hypotheses are

Let $W$ be the number who buy insurance in the sample of 25. Under $H_0$,

For the observed value $W=11$,

Since

$H_0$ is rejected. There is sufficient evidence at the $10\%$ significance level to suggest that the proportion of customers who buy insurance has increased.

官方评分资料也接受临界区域法。在 $B(25,0.3)$ 下，右尾概率首次不超过 0.10 的边界为 11，因此临界区域是 $W\geq11$；观察值正好落入临界区域。

Under $H_0$, $W\sim\operatorname{B}(25,0.3)$. The upper-tail probabilities at adjacent boundaries are

and

Hence, the critical region is

The observed value is $W=11$, which lies in the critical region. Therefore, $H_0$ is rejected, and there is sufficient evidence at the $10\%$ significance level to suggest that the proportion of customers who buy insurance has increased.