题目

Problem

A continuous random variable $X$ has cumulative distribution function

\begin{align*} &\,F(x)=\\ &\,\begin{cases} \begin{aligned} &\,0\\[-1mm] &\,\quad x < 2 \end{aligned}\\[3mm] \begin{aligned} &\,\dfrac{1}{20}(x^2 - 4)\\[-1mm] &\,\quad 2 \leqslant x \leqslant 4 \end{aligned}\\[3mm] \begin{aligned} &\,\dfrac{1}{5}(2x - 5)\\[-1mm] &\,\quad 4 < x \leqslant 5 \end{aligned}\\[3mm] \begin{aligned} &\,1\\[-1mm] &\,\quad x > 5 \end{aligned} \end{cases} \end{align*}

(a) Calculate $P(X > 4)$

(2)

(b) Find the value of $a$ such that

P(3 < X < a) = 0.642

(4)

(Total for Question 1 is 10 marks)

题目中文翻译

连续随机变量 $X$ 的累积分布函数为

\begin{align*} &\,F(x)=\\ &\,\begin{cases} \begin{aligned} &\,0\\[-1mm] &\,\quad x < 2 \end{aligned}\\[3mm] \begin{aligned} &\,\dfrac{1}{20}(x^2 - 4)\\[-1mm] &\,\quad 2 \leqslant x \leqslant 4 \end{aligned}\\[3mm] \begin{aligned} &\,\dfrac{1}{5}(2x - 5)\\[-1mm] &\,\quad 4 < x \leqslant 5 \end{aligned}\\[3mm] \begin{aligned} &\,1\\[-1mm] &\,\quad x > 5 \end{aligned} \end{cases} \end{align*}

(a) 计算 $P(X > 4)$ 。

(2)

(b) 求 $a$ 的值，使得

P(3 < X < a) = 0.642.

(4)

（第 1 题共 10 分）

解答

(a)

解法一

思路

展开

连续随机变量在单点的概率为零，因此

\begin{align*} &\,P(X>4)\\ &\,=1-P(X\leq4)\\ &\,=1-F(4). \end{align*}

从累积分布函数中使用包含 $x=4$ 的第二段求 $F(4)$ 。

答题过程

展开

Using the cumulative distribution function,

\begin{align*} &\,P(X>4)\\ &\,=1-F(4)\\ &\,=1-\frac1{20}(4^2-4)\\ &\,=1-\frac35\\ &\,=\boxed{\frac25}. \end{align*}

解法二

思路

展开

也可以从 4 到 5 对密度积分。累积分布函数在 $4<x\leq5$ 上的导数为常数 $2/5$ ，所以所求概率就是这段矩形面积。

答题过程

展开

For $4<x\leq5$ ,

\begin{align*} &\,f(x)\\ &\,=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left[\frac15(2x-5)\right] \\ &\,=\frac25. \end{align*}

Therefore,

\begin{align*} P(X>4) =&\,\int_4^5\frac25\,\mathrm{d}x\\ =&\,\frac25(5-4)\\ =&\,\boxed{\frac25}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

把区间概率写成 $F(a)-F(3)=0.642$ 。先求 $F(3)=0.25$ ，从而得到 $F(a)=0.892$ ；由于该值大于 $F(4)=0.6$ ，所以 $a$ 位于 $(4,5]$ ，必须使用累积分布函数的第三段求解。

答题过程

展开

Since $X$ is continuous,

\begin{align*} &\,P(3<X<a)\\ &\,=F(a)-F(3). \end{align*}

Now

F(3)=\frac1{20}(3^2-4)=\frac14.

Therefore,

\begin{align*} F(a)-\frac14=&\,0.642\\ F(a)=&\,0.892. \end{align*}

Since $F(4)=3/5=0.6$ , it follows that $a>4$ . Hence, using the third part of the cumulative distribution function,

\begin{align*} \frac15(2a-5)=&\,0.892\\ 2a-5=&\,4.46\\ a=&\,\boxed{4.73}. \end{align*}

解法二

思路

展开

也可把概率拆成从 3 到 4 以及从 4 到 $a$ 的两个密度面积。前一段密度为 $x/10$ ，后一段为 $2/5$ ；把两段积分之和设为 0.642 后求 $a$ 。

答题过程

展开

The density is $x/10$ for $2\leq x\leq4$ and $2/5$ for $4<x\leq5$ . The probability between 3 and 4 is

\begin{align*} &\,P(3<X<4)=\int_3^4\frac{x}{10}\,\mathrm{d}x\\ &\,=\frac7{20}<0.642. \end{align*}

Therefore $a>4$ , and

\begin{align*} &\,P(3<X<a)\\ &\,=\int_3^4\frac{x}{10}\,\mathrm{d}x\\ &\,\hspace{2pt}+\int_4^a\frac25\,\mathrm{d}x\\ &\,=\left[\frac{x^2}{20}\right]_3^4\\ &\,\hspace{2pt}+\frac25(a-4)\\ &\,=\frac7{20}+\frac25(a-4). \end{align*}

Equating this to $0.642$ gives

\begin{align*} \frac7{20}+\frac25(a-4)=&\,0.642\\ \frac25(a-4)=&\,0.292\\ a=&\,\boxed{4.73}. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

概率密度函数是累积分布函数的导数。分别对两个非常数分段求导：二次段得到 $x/10$ ，一次段得到 $2/5$ ；在支撑区间以外，累积分布函数为常数，因此密度为 0。

答题过程

展开

The probability density function is $f(x)=F'(x)$ . For $2\leq x\leq4$ ,

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left[\frac1{20}(x^2-4)\right] =\frac{x}{10}.

For $4<x\leq5$ ,

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left[\frac15(2x-5)\right] =\frac25.

Therefore,

\begin{align*} &\,f(x)=\\ &\,\boxed{ \begin{cases} \begin{aligned} &\,\dfrac{x}{10}\\[-1mm] &\,\quad 2\leq x\leq4 \end{aligned}\\[3mm] \begin{aligned} &\,\dfrac25\\[-1mm] &\,\quad 4<x\leq5 \end{aligned}\\[3mm] \begin{aligned} &\,0\\[-1mm] &\,\quad\text{otherwise} \end{aligned} \end{cases} } \end{align*}

S2 2025 Oct A Q1

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程