连续随机变量 $X$ 的累积分布函数为

$F(x) = \begin{cases} 0 & x < 2 \\ \dfrac{1}{20}(x^2 - 4) & 2 \leqslant x \leqslant 4 \\ \dfrac{1}{5}(2x - 5) & 4 < x \leqslant 5 \\ 1 & x > 5 \end{cases}$

(a) 计算 $P(X > 4)$。

(b) 求 $a$ 的值使得 $P(3 < X < a) = 0.642$。

(c) 求 $X$ 的概率密度函数，对所有 $x$ 值进行说明。

（第 1 题共 10 分）

连续随机变量在单点的概率为零，因此 $P(X>4)=1-P(X\leq4)=1-F(4)$。从累积分布函数中使用包含 $x=4$ 的第二段求 $F(4)$。

Using the cumulative distribution function,

官方评分资料也接受从 4 到 5 对密度积分。累积分布函数在 $4<x\leq5$ 上的导数为常数 $2/5$，所以所求概率就是这段矩形面积。

For $4<x\leq5$,

Therefore,

把区间概率写成 $F(a)-F(3)=0.642$。先求 $F(3)=0.25$，从而得到 $F(a)=0.892$；由于该值大于 $F(4)=0.6$，所以 $a$ 位于 $(4,5]$，必须使用累积分布函数的第三段求解。

Since $X$ is continuous,

Now

Therefore,

Since $F(4)=3/5=0.6$, it follows that $a>4$. Hence, using the third part of the cumulative distribution function,

也可把概率拆成从 3 到 4 以及从 4 到 $a$ 的两个密度面积。前一段密度为 $x/10$，后一段为 $2/5$；把两段积分之和设为 0.642 后求 $a$。

The density is $x/10$ for $2\leq x\leq4$ and $2/5$ for $4<x\leq5$. Therefore,

Equating this to $0.642$ gives

概率密度函数是累积分布函数的导数。分别对两个非常数分段求导：二次段得到 $x/10$，一次段得到 $2/5$；在支撑区间以外，累积分布函数为常数，因此密度为 0。

The probability density function is $f(x)=F'(x)$. For $2\leq x\leq4$,

For $4<x\leq5$,

Therefore,