Bill 拥有一家餐厅。

在接下来的四周里，Bill 决定进行抽样调查以获取顾客的意见。

(a) 建议一个适合此抽样调查的抽样框架。

(b) 识别抽样单位。

(c) 给出普查而非抽样调查的一个优点和一个缺点。

Bill 认为只有 30% 的顾客希望菜单有更多选择。

他随机抽取了 50 名顾客样本，发现其中 20 人希望菜单有更多选择。

(d) 在 5% 的显著性水平下，检验希望菜单有更多选择的顾客比例是否大于 Bill 的预期。清楚地陈述你的假设。

（第 2 题共 9 分）

抽样框应是能够识别目标总体中每个抽样单位的完整名单。这里的总体是在这四周内到餐厅用餐的所有顾客，因此应使用这些顾客的完整记录，而不能只列部分顾客或顾客意见。

A suitable sampling frame is a complete list of all customers who eat at the restaurant during the four weeks.

抽样单位是实际被选择和调查的基本对象，而不是顾客给出的意见。因此，本调查中的抽样单位是每一名到餐厅用餐的顾客。

The sampling units are the individual customers who eat at the restaurant.

普查涵盖总体中的每一名顾客，因此通常能减少抽样误差，结果更准确；但需要收集并分析更多数据，所以更加耗时。题目各要求一个优点和缺点，清楚标明即可。

An advantage of taking a census is that the results are likely to be more accurate.

A disadvantage is that collecting and analysing the data is more time-consuming.

令 $p$ 为希望菜单有更多选择的顾客比例。题目检验该比例是否大于 0.3，所以使用右尾二项检验。在原假设下 $X\sim B(50,0.3)$；观察到 20 人，计算 $P(X\geq20)$ 并与 0.05 比较，最后写出结合餐厅情境的结论。

Let $p$ be the proportion of customers who would like a greater choice on the menu. The hypotheses are

Let $X$ be the number of such customers in the sample. Under $H_0$,

The observed value is $X=20$, so the upper-tail probability is

Since

$H_0$ is not rejected. There is insufficient evidence at the $5\%$ significance level to suggest that more than $30\%$ of the restaurant’s customers would like a greater choice on the menu.

也可以使用临界区域法。从较大的整数开始寻找右尾概率不超过 0.05 的最小边界；比较 $P(X\geq20)$ 与 $P(X\geq21)$ 后得到临界区域，再检查观察值 20 是否落入其中。

Under $H_0$, $X\sim\operatorname{B}(50,0.3)$. The adjacent upper-tail probabilities are

and

Therefore, the critical region is

The observed value $X=20$ is not in the critical region, so $H_0$ is not rejected. There is insufficient evidence at the $5\%$ significance level to suggest that more than $30\%$ of the restaurant’s customers would like a greater choice on the menu.